Лекция 6. Эта лекция будет посвящена доказательству правил дифференцирования и формул из таблицы производных элементарных функций (см

Эта лекция будет посвящена доказательству правил дифференцирования и формул из таблицы производных элементарных функций (см. вводную лекцию по технике дифференцирования).

 

Доказательства правил дифференцирования

 

Доказательство правила 1. Если при всех x, то

.

€

Доказательство правила 2. Действуем по определению 1:

.

€

Доказательство правила 3. Имеем:

.

€

Лемма 3. Дифференцируемая функция непрерывна; то есть (в обозначениях определения 1), если существует, то .

Доказательство. Применяя свойство 4 предела функции, имеем:

.

Так как здесь – константа, то из свойств 1–3 предела функции легко выводим требуемое.

€

Доказательство правила 4. Применяя определение производной к функции , получаем:

.

Пределы дробей в последней строке равны, соответственно, и . Так как – константа, то . А по лемме 3 получаем, что . Таким образом, правило 4 доказано.

€

Доказательство правила 5. Сначала рассмотрим случай, когда числитель тождественно равен единице. Имеем:

.

Равенство явилось следствием леммы 3.

Применяя 4-е правило дифференцирования к произвольной дроби, получаем:

€

Доказательство правила 6. Пусть x – фиксировано и – произвольная последовательность, строго стремящаяся к x. Обозначим и . Из леммы 3 следует, что при , однако, вообще говоря, эта сходимость может быть и нестрогой (приведите соответствующий пример!). Обозначим через возрастающую последовательность тех натуральных чисел N, для которых . Теперь уже строго при , а для остальных индексов n (то есть при N\ ) выполняется равенство . Рассмотрим такую последовательность , что , если существует такое k, что , и , если N\ . Очевидно, что Так как N , то

Ввиду произвольности последовательности , из определения 8 следует, что существует и равен , что и доказывает формулу .

€

 

Вывод производных степенной, показательной и логарифмической функций

 

Докажем сначала формулу . Имеем:

.

Так как x – положительная константа, то . Применяя 2-й замечательный предел, получаем: . Используя теперь пункт 2) леммы 1, имеем окончательно:

.

Теперь легко получается формула для произвольной логарифмической функции:

.

Выведем производную степенной функции. Применим так называемый метод логарифмического дифференцирования. Так как , то . Дифференцируя обе части полученного равенства и применяя в левой части цепное правило, имеем:

.

Тот же метод применим для вывода производной показательной функции:

.

 

Вывод производных тригонометрических функций

 

Покажем, что . Имеем:

.

В процессе вычислений мы применили эквивалентность ~ при и непрерывность косинуса, выразившуюся в последнем равенстве.

Теперь, применяя формулы приведения и цепное правило, получаем:

.

Далее:

.

Аналогично выводится производная котангенса.

 

Вывод производных обратных тригонометрических функций

 

Лемма 4. Пусть непрерывная функция с областью определения D(g) и множеством значений J обратна по отношению к функции , у которой в точке . Тогда в соответствующей точке функция дифференцируема и справедлива формула:

.

(17)

Доказательство. Пусть D(g) – произвольная последовательность, строго стремящаяся к x. Из условий леммы следует, что N существует единственное число , такое, что . Отсюда вытекает, что и в силу непрерывности функции g . При этом ясно, что строго. Имеем:

.

Ввиду произвольности последовательности , из определения 8 следует, что существует и равен , что и доказывает формулу (17).

€

Выведем теперь формулу для производной арксинуса. Положим , а . Известно, что функция непрерывна на своей области определения D(g) (см. теорему 3), имеет множество значений , на котором определена обратная ей функция . При этом . По формуле (17) в соответствующих точках :

.

Из хорошо известной формулы немедленно получаем:

.

Выведем формулу для производной арктангенса. Положим , а . Известно, что функция непрерывна на своей области определения D(g) (см. теорему 3), имеет множество значений , на котором определена обратная ей функция . При этом . По формуле (17) в соответствующих точках :

.

Опять из известной формулы получаем:

.