Ошибки, вызванные помехой f(t)

В рассматриваемой работе предполагается:

· задающее воздействие x (t) является регулярным,

· помеха f (t) – случайный процесс с нулевым математическим ожиданием.

Учитывая принцип суперпозиции, результирующая ошибка ε _уст (t) складывается из рассчитанной ранее регулярной ε _рег(t) и случайной ε _сл (t) составляющих.

Изображение случайной составляющей для системы, представленной структурной схемой, изображенной на рис. 1.1, определяется выражением [3, стр. 321-322].

,

(2.12)

– передаточная функция ошибки системы по помехе f (t).

Рассматриваемые системы являются линейными и стационарными. Помеха f (t) – достаточно широкополосный случайный процесс, чтобы её можно было описывать как белый шум. Математической моделью белого шума является случайный стационарный процесс с нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностью мощности . В рассматриваемом случае , где – значение спектральной плотности помехи на нулевой частоте.

В этих условиях ошибка e_сл(t) в установившемся режиме также представляет собой стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностью:

, (2.13)

Дисперсия случайной ошибки e_сл(t) определяется выражением

. (2.14)

Формулы для вычисления интегралов вида:

, (2.15)

приведены в [3, стр. 321-322].

При n = 3 полиномы в выражении (2.15) имеют вид

С (j w) = с ₀ + с ₁ j w + с ₂(j w)², D (j w) = d ₀ + d ₁ j w + d ₂(j w)² + d ₃(j w)³.

Следует обратить внимание на совмещение обозначений:

C (s) - знаменатель передаточной функции системы W (s) в разомкнутом состоянии,

С (j w) - числитель комплексного коэффициента передачи K _{ε f} (j w) в формуле (2/13). Кроме этого, при записи полиномов С (j w) и D (j w) изменен порядок индексации коэффициентов c_i: i = 0, 1, 2 и d_j: j = 0, 1, 2, 3.

Таким образом, для систем третьего порядка (n = 3):

. (2.16)

Удобно дисперсию ошибки представлять в виде

, (2.17)

где D F _э - эквивалентная шумовая полоса рассматриваемой системы, равная полосе пропускания некоторой эквивалентной системы, имеющей прямоугольную амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) системы в замкнутом состоянии А _з = А _з (ω) (см. рис.2.1) с тем же коэффициентом передачи на нулевой частоте, что и в рассматриваемой системе.

Для статических систем значение А _з (0) = К _{ε f} (0) = и, следовательно, при k > > 1 близко к единице, для астатических систем А _з (0) = К _{ε f} (0) = 1.

Сравнивая выражения (2.14) и (2.17), получим

Рис. 2. АЧХ системы в замкнутом состоянии и шумовая полоса wЭ

. (2.18)

Именно значение D F _э характеризует помехоустойчивость системы. Чем шире полоса D F _э, тем меньше помехоустойчивость системы.

1. Статическая система:

,

.

Следовательно,

, ,

, , , ,

и, выделив сомножители, содержащие коэффициент k,

. (2.19)