Задача 3. Определить ток в цепи конденсатора (рис

Определить ток в цепи конденсатора (рис. 3.1), если Е=200 В, С=2 мФ, R₁=R₂=10 Ом, U_С(0_)=100 B. Построить графики зависимости i=f(t), U_C(t).

Рис. 4.5

Прежде всего, необходимо осознать условие задачи. Понятно, что при разомкнутом ключе в установившемся режиме напряжения на конденсаторе быть не может, ибо он непрерывно разряжается (до нуля) через сопротивления R₁ и R₂.

Условие U_С(0_)=100 B означает, что в процессе разрядки в предыдущем переходном процессе при достижении напряжения на конденсаторе 100 В происходит замыкание ключа и начинается новый переходной процесс.

В связи с тем, что ветви с R₁ и R₂, С соединены параллельно, электромагнитные процессы в каждой из них происходят независимо друг от друга под влиянием источника Е.

Понятно, что в этом переходном процессе мы имеем дело с двумя в определенном смысле не зависящими друг от друга цепями: Е- R₁ и Е-С-R₂ (общая ветвь пока не рассматривается). В ветви с R₁ ток и напряжение изменяются скачком от первоначальных значений до и .

Переходной процесс здесь отсутствует в связи с отсутствием накопителей энергии.

Расчет переходного процесса во второй цепи состоит в следующем.

1 Уравнение электрического равновесия для этой цепи .

2 Приведение этого уравнения к одному с одним неизвестным производится на основании того, что

.

Таким образом, уравнение п. 1 может быть приведено

- либо к

- либо к , которое после дифференцирования приобретает вид , поскольку .

Если нас интересует процесс перезарядки конденсатора, решение задачи целесообразно свести к решению первого уравнения.

Характеристическое уравнение в этом случае pR₂C+1=0.

Легко видеть, что это уравнение могло быть получено по входному сопротивлению цепи в комплексной форме после коммутации при замене jω на р и приравнивании z(p) к нулю, то есть → R₁(R₂pC+1)=0→ R₂pC=0.

Отсюда .

При этом полезно обратить внимание на то, что в случае, если мы будем решать второе дифференциальное уравнение (для тока), характеристическое уравнение цепи будет точно таким же, а именно .

Корень этого уравнения .

3 Решение для свободной составляющей напряжения на конденсаторе имеет вид .

4 Находим принужденную составляющую напряжения на конденсаторе

.

5 Составляем общее выражение (функцию) для переходного напряжения как сумму свободной и принужденной составляющих

.

6 Находим значение напряжения на конденсаторе в момент t=0 на основании второго закона коммутации

u_C(0)=u_C(0^-)=100B

7 Определяем постоянную интегрирования А из уравнения п.5

u_C(0)=200+А=100 А=-100В

8 Записываем окончательное уравнение для переходного напряжения конденсатора

u_C=200-100е^-50t

9 Ток I в цепи конденсатора найдем как

10 По полученным уравнениям для тока i и напряжения u_C строим графики i=f(t) и u_C(t).

Рис. 4.6

Постоянная времени и по току, и по напряжению τ =1/р=1/50=0, 02 с. Понятно, что ток в общей ветви и источнике есть результат наложения (сложения) токов в обеих ветвях, то есть i(t)=i₁(t)+i₂(t)=20+0, 01e^-50t.