Задача 4. Принято считать, что переходной процесс, теоретически длящийся бесконечно долго, в электрических цепях практически заканчивается через время

Принято считать, что переходной процесс, теоретически длящийся бесконечно долго, в электрических цепях практически заканчивается через время t=(4÷ 5)τ. Это означает, что перезарядка конденсатора в цепи предыдущей задачи при t=0, 02с закончится через t≈ 5τ =0, 1с. В течение этого времени напряжение на конденсаторе увеличивается от 100 до

U_C(0, 1)=200-100e^-50t=200-100e^{-50·0, 1}=200-100/2, 72⁵=200-0, 67=199, 33B, то есть практически до 200 В.

В настоящей задаче требуется рассчитать переходной процесс в емкости при условии, что ключ «К» будет разомкнут через t=0, 04с после начала зарядки по условиям предыдущей задачи, то есть до окончания переходного процесса, начавшегося в цепи после замыкания ключа.

 

Решение

1. Расчет цепи до коммутации и определение начальных условий при t=0_.

В этом случае режим в цепи до коммутации не является установившимся. Напряжение на конденсаторе непрерывно изменяется и в каждый момент времени равно u_C(t)=200-100е^-50t (п.7 в задаче №3).

Это значит, что в момент t=0, 04с, то есть в момент новой коммутации (размыкания ключа), это напряжение будет равно U_C(0_)=200-100e^-50t=200-100e^{-50·0, 04}=200-100е^-2=200-100/2, 72²=186, 5B.

2. Выполнив новую коммутацию (разомкнув ключ), получаем одноконтурную цепь без источника, представленную на рисунке 4.1

Рис. 4.7

Здесь R1=R2=10 Ом, С=2 мкФ.

Переходной процесс здесь представляет из себя разряд конденсатора, начиная с напряжения U_C(0₊)=U_C(0_)=186, 5 В до нуля.

Поскольку мы имеем дело с цепью первого порядка, то есть характеристическое уравнение будет иметь только один вещественный отрицательный корень, разряд будет происходить по закону U_C(t)=Ae^-pt.

3. Уравнение электрического равновесия этой цепи формируется вторым законом Кирхгофа: iR₁+iR₂+U_C=0 или i(R₁+R₂)+U_C=0.

Отсутствие в этом уравнении правой части говорит о том, что принужденная составляющая в этом случае отсутствует и цепь пребывает в свободном (при отсутствии побуждающих сил-источников) состоянии (режиме).

4. Приведение этого уравнения к одному с одним неизвестным производится с учетом того, что . Окончательное дифференциальное уравнение, если его составлять для напряжения U_C(t), приобретает вид .

5. Соответствующее характеристическое уравнение p(R₁+R₂)C+1=0.

В случае формирования характеристического уравнения по входному сопротивлению в комплексной форме следует иметь в виду, что входное сопротивление после коммутации в цепи без источников может быть найдено со стороны любого разрыва любой ветви. В данном случае мы имеем цепь с последовательным соединением R₁, R₂ и С. Следовательно . Соответствующее ему характеристическое уравнение находится из , то есть pC(R₁+R₂)+1=0, что было получено в результате соответствующих преобразований дифференциального уравнения.

6. Решение этого уравнения приводит, как и ожидалось, к одному вещественному отрицательному корню .

7. В связи с отсутствием принужденной составляющей получаем

U_C(t)=U_{С пр}(t)+U_{С св}(t)=U_{С св}=Ае^рt=Ае^-25t

8. Постоянную интегрирования определяем из того, что U_C(0₊)=U_C(0_)=186, 5 В, то есть U_C(0)=А=186, 5 В

9. Следовательно, окончательное выражение для напряжения U_C(t)=186, 5е^-25t В.

10. Функцию переходного тока определяем по , то есть А.

11. Кривая переходного напряжения с учетом режима работы цепи до коммутации представлена на рисунке 4.2.

Рис. 4.8

Слева от нуля воспроизведен переходной процесс по напряжению U_C(t) в предыдущей задаче. Новая коммутация происходит при t=0 до того, как закончится переходной процесс, начавшийся при t=0 в предыдущей задаче. Теперь переходной процесс начинается с U_C=186, 5 В, и конденсатор разряжается до U_прC=0.

Скорость этого переходного процесса определяется постоянной времени τ =1/р=1/25=0, 04 с, то есть он проходит в два раза быстрее, чем в предыдущей задаче, поскольку активное сопротивление цепи уменьшилось в два раза.