Задача 7. Найти токи переходного процесса в электрической цепи (рис

Найти токи переходного процесса в электрической цепи (рис. 7.1), если Е=100 В, R₁=R₂=50 Ом, L=0, 125 Гн, С=180 мкФ.

Рис. 4.13

 

Принципиально решение этой задачи ничем не отличается от решения предыдущей, как и любой другой, и может быть выполнено в строго той же последовательности.

Тем не менее, решение этой и других задач приводится в экспресс-варианте без повторения ранее приведенных комментариев и уже обсужденных подробностей с тем, чтобы дать повод для самостоятельных поисков и размышлений.

 

Решение

1. Предоставляем токи переходного процесса в виде двух составляющих – принужденной и свободной, то есть i(t)=i_пр(t)+i_св(t)

2. Находим корни характеристического уравнения Z(p)=0

LCR₁p²+(R₁R₂C+L)p+R₁+R₂=0

p²+510p+8, 88·10⁴=0

p_{1, 2}=-225±j155C^-1=-β ±jω ₀

Таким образом, единственным отличием при решении этой задачи от предыдущей является то, что здесь мы имеем не вещественные, а два комплексных сопряженных корня с отрицательной вещественной частью. Свободная составляющая тока как результат решения дифференциального уравнения в этом случае имеет вид:

i_св(t)=Ае^{-β t}sin(ω ₀t+φ)=Ае^-225tsin(155t+φ), где А и φ есть постоянные интегрирования, определение которых производится точно так же, как и в предыдущей, и во всех других задачах.

3. Решение токов переходного процесса ищем в виде

i(t)=i_пр(t)+ Ае^{-β t}sin(ω ₀t+φ)

4. Находим принужденные составляющие токов и напряжения на конденсаторе

 

5. Находим значение всех токов переходного процесса при t=0 на основании законов коммутации

U_C(0_)=U_C(0)=E=50 B

i₂(0_)=i₂(0)=0

i₃=i₁(0)-i₂(0)=0-0=0

6. Находим первые производные всех токов при t=0, для чего составим дифференциальные уравнения:

R₁i₁+U_C=E

i₁=i₂+i₃

7. Рассчитываем постоянные интегрирования

Так как , то

,

8. Выражения для токов переходного процесса имеют вид

i₁(t)=1, 761e^-225tsin(155t+34, 6°)

i₂(t)=1+3, 864e^-225tsin(155t-15°)

i₃(t)=-5, 161e^-225tsin155t

Выражения для напряжений на индуктивности и емкости, если это требуется, могут быть определены, как и .

Таким образом, в этом случае (при комплексных корнях) мы имеем дело с колебательным переходным процессом. Характер изменения (качественно) приобретает вид, представленный на рисунках 7.2 и 7.3 (сравнить с 1.2 и 1.3).

Рис. 4.14

Рис. 4.15