Задача 5. Рассчитать переходной процесс в цепи рисунка 5.1, если Е=60 В, R1=400 Ом, R2=800 Ом, L=0.2 Гн, С=2,5 мкФ

Рассчитать переходной процесс в цепи рисунка 5.1, если Е=60 В, R₁=400 Ом, R₂=800 Ом, L=0.2 Гн, С=2, 5 мкФ.

Рис. 4.9

Предполагается при этом, что к моменту коммутации напряжение на конденсаторе составляло U(t≤ 0_)=20 В.

1. Расчет цепи в установившемся режиме до коммутации и определение независимых начальных условий при t=0_.

В связи с тем, что E=const, катушка индуктивности представляет собою обычное короткое замыкание на соответствующем участке, а ветвь с емкостью разомкнута, .

U_С(0_)=20 В (по условию).

2. Замыкаем цепь с емкостью, выбираем метод расчета и составляем необходимое количество уравнений.

Как известно, расчет цепи в случае несинусоидальных непериодических токов и напряжений может производиться либо с помощью законов Кирхгофа, либо методом контурных токов.

После коммутации мы имеем дело с цепью, состоящей трех ветвей и двух ячеечных контуров.

При расчете цепи по законам Кирхгофа составляются три уравнения

i₁-i₂-i₃=0

E=U_R1+U_R2+U_R3=i₁R₁+i₂R₂+L

E=U_R1+U_C=i₁R₁+ +A

Формально более экономичным здесь является метод контурных токов. При условии, что контурный ток первого контура i_I=i₁, а второго i_II=i₃, составляются два следующих уравнения:

При этом следует иметь в виду, что уравнения Кирхгофа являются более универсальными и часто оказываются более полезными при дальнейших расчетах.

3. Приведение системы уравнений к одному с одним неизвестным.

Эта процедура выполняется методом подстановок (поэтапное исключение переменных), либо методом алгебраизации, подробно рассмотренных в [1], [2].

Опуская довольно длительные, связанные с такими преобразованиями действия, приводим их конечный результат – итоговое линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

4. Решение полученного уравнения.

Как известно, применительно к задачам электротехники решение линейного дифференциального уравнения состоит из двух слагаемых искомой величины: свободной (св.) и принудительной (пр.). В данном случае i₃=i_3св+i_3пр.

4.1. Определение свободной составляющей.

Свободная составляющая есть результат решения однородного дифференциального уравнения для свободного режима, то есть итогового уравнения без правой части

Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

, то есть

R₁CLp²+(L+R₁R₂C)p+(R₁+R₃)=0

Гораздо более экономным и приемлемым для инженерной практики методом получения характеристического уравнения является вариант использования для этого выражения входного сопротивления цепи в комплексной форме.

В нашем случае

При jω → p

При Z(p)=0 получаем ранее полученное характеристическое уравнение

R₁CLp²+(L+R₁R₂C)p+(R₁+R₂)=0

4.2. Определение корней характеристического уравнения и составление функции для свободной составляющей.

Подставляя в полученное уравнение значения составляющих его величин, получаем 2·10^-4р²+р+1200=0.

В этом случае мы имеем р₁=-2000С^-1 р₂=-3000С^-1

То есть два равных отрицательных вещественных корня. Свободная составляющая для тока в этом случае представляется в виде суммы двух экспонент i_св= .

Поскольку характеристическое уравнение для одной и той же цепи всегда только одно, корни характеристического уравнения, следовательно – вид функций для свободных составляющих всех электрических величин, определяющих функционирование цепи, будет иметь один и тот же вид, то есть:

i_1св= ,

i_2св= ,

i_3св= ,

U_Lсв= ,

U_Cсв= .

Разными здесь оказываются только постоянные интегрирования, определяемые по значениям соответствующих начальных условий.

4.3. Расчет цепи в после коммутационном установившемся режиме и определение принужденной составляющей.

В установившемся режиме после коммутации мы снова имеем дело с цепью постоянного тока, когда емкость представляет собою разрыв цепи, а индуктивность – короткое замыкание. Это означает, что

i_1пр=i_2пр=i=I=E/(R₁+R₂)=0, 05 A

i_3пр=0, U_Lпр=0, U_Cпр=i₂R₂=IR₂=40 B.

4.4. Составление итоговой функции искомой (искомых) величины.

Каждая из таких функций есть сумма принужденной (послекоммутационной) и свободной составляющих, то есть

i₁= i_1пр+i_1св=0, 05+ ,

i₂= i_2пр+i_2св=0, 05+ ,

i₃= i_3пр+i_3св= ,

U_Lсв= U_Lпр+U_Lсв= ,

U_Cсв= U_Cпр+U_Cсв=40+ .

Поскольку вещественные корни характеристического уравнения (всегда) отрицательны, свободные составляющие имеют затухающий характер и после завершения переходного процесса все электрические величины в цепи становятся равными принужденным составляющим.

4.5. Определение постоянных интегрирования.

Этот этап расчета начинается с выбора электрической величины, которая при расчете представляет наибольший интерес.

Предположим, что нас интересует, прежде всего, переходной ток в катушке индуктивности, то есть

i₂= =В₁е^-2000t+В₂е^-3000t.

Для определения постоянных интегрирования необходимо составить два уравнения с их участием. В соответствии с правилами высшей математики в данном случае такими уравнениями являются значения искомого переходного тока и его производной в начальный момент времени после коммутации, то есть при t=0₊.

Первое уравнение i₂(0)= =В₁+В₂.

Второе уравнение

Значение первой производной тока определяется из того, что , откуда

Значение U_L(0) относится к зависимым начальным условиям и определяется из первоначально составленных для расчета данной цепи уравнений, записываемых для t=0, то есть

i₁(0)-i₂(0)-i₃(0)=0

E(0)=U_R1(0)+U_R2(0)+U_L(0)=i₁(0)R₁+ i₂(0)R₂+U_L(0)

E(0)=U_R1(0)+U_С(0)=i₁(0)R₁+U_С(0)

Подставляя в эту систему известные величины и найденные независимые начальные условия, получаем

i₁(0)-0, 05-i₃(0)=0

60= i₁(0)·400+ 0, 05·800+U_L(0)

60=i₁(0)·400+20

Таким образом

i₁(0)=(60-20)/400=0, 1 А

U_L(0)=60-0, 1·400-0, 05·800=-20

Следовательно, второе уравнение для определения постоянных интегрирования имеет вид:

-20=0, 2(-2000В₁-3000В₂)

Решая это уравнение в системе с первым, получаем: В₁=-0, 1, В₂=0, 1.

Окончательная функция переходного тока в индуктивности

i₂=0, 05-0, 1е^-2000t +0, 1е^-3000t.

Для определения остальных электрических величин можно было бы воспользоваться выражениями для них п. 3.4.4 через определение их постоянных интегрирования в соответствии с п. 3.4.5.

Но гораздо проще сделать это, воспользовавшись составленной в начале расчета общей системой уравнений электрического состояния рассматриваемой цепи (п. 2). Например, общий ток i₁(t) – из уравнения 3.2.2:

Ток в ветви с емкостью может быть найдет из уравнения 3.2.1:

i ₃=i₁-i₂=0, 2e^-2000t-0, 15e^-3000t.

При этом ,

.

5. Анализ поведения электрических величин в переходном режиме обычно сводится к построению кривых интересующих величин, определению характера и длительности переходного процесса, к анализу энергетических взаимодействий в рассматриваемой цепи.

В качестве примера на рисунках 5.2 и 5.3 приведены последовательности построений (качественно) и результирующие кривые переходного тока в индуктивности i₂(t) и переходного напряжения на емкости U_С(t).

Рис. 4.10

Рис. 4.11