Задача №2. Определить ток в индуктивности (рис

 

Определить ток в индуктивности (рис. 2.1) после замыкания ключа «К».

Дано: R=250 Ом, С=2 мкФ, L=667 мГ, Е=125 В.

Рис. 4.20

 

 

Решение

1. Рассчитываем заданную цепь до коммутации (ключ К разомкнут). Понятно, что в этом случае i_L(0_)=0 и U_C(0_)=0 (конденсатор в установившемся режиме шунтируется катушкой).

2. Переводим цепь в операторную форму по правилам таблицы 3.2:

 

Рис. 4.21

 

Здесь , Z₁(p)=R, Z₂(p)= , Z₃(p)=pL, а вносимые ЭДС в ветвях с емкостью и индуктивность отсутствуют, так как i₃(0₊)=0 и U_C2(0₊)=0.

3. Рассчитываем полученную цепь как обычную цепь постоянного тока, воспользовавшись правилом определения тока в одной из двух параллельных ветвей (метод эквивалентных преобразований):

Таким образом, мы получили выражение для I₃(p) в виде, который для определения оригинала позволяет воспользоваться теоремой разложения в общепринятой версии

Здесь F₁(p)=125,

F₂(p)=p(RLCp²+Lp+R)=RLCp³+Lp²+Rp=p(3, 333·10^-4p²+667·10^-3p+250),

p_k – корни полинома знаменателя F₂(p)=0,

F′ ₂(p) – производная полинома знаменателя.

4. Последовательность действий при определении функции-оригинала i₃(t):

4.1. Определяем корни многочлена знаменателя:

р₀=0, р₁=-500С^-1, р₂=-1500С^-1.

4.2. Находим производную полинома знаменателя:

4.3. Для трех вещественных и разных корней (равенство нулю одного из них в данном случае значения не имеет) теорема разложения имеет следующий вид:

Поскольку F₁(p)=125 – не зависит от р, имеем F₁(p₁)=F₁(p₂)=F₁(p₃)=F₁(0)=125.

Значения производной знаменателя в точках р₁, р₂ и р₃:

Таким образом

4.4. Окончательное выражение для тока в индуктивности имеет вид

5. Если кроме найденной функции, в данном случае тока i₃(t), требуется найти переходные функции других электрических величин исследуемой цепи, это можно выполнять как в области операторных изображений с последующим переходом к оригиналам, так и оперируя с найденными функциями-оригиналами.

Например, для определения переходной функции напряжения на конденсаторе U_C(t) в первом случае действуют по схеме:

I₃(p)→ U_ab(p)=I₃(p)Z₃(p)=I₃(p)·pL→ U_ab(p)=U_C(p) → U_C(t).

Во втором случае решение окажется чрезвычайно простым: