Задача №6. Пользуясь теоремой разложения, определить ток переходного процесса в неразветвленной части цепи (рис

Пользуясь теоремой разложения, определить ток переходного процесса в неразветвленной части цепи (рис. 6.1).

Дано R₁=50·10³ Ом, R=10·10³ Ом, L=20 Гн, С=6·10^-6 Ф, U(t)= .

Рис. 4.28

Решение

1. Здесь мы имеем нулевые начальные условия, поэтому вносимые ЭДС отсутствуют.

2. На основании закона Ома записываем уравнение искомого тока в операторной форме

Напряжение источника в операторной форме имеет вид:

Поэтому

3. По теореме разложения найдем оригинал

Из условия F₂(p)=0 находим корни

p₁=jω =314jc^-1

p²·20·10⁴·6·10^-6+p(20+50·10³·10·10⁴·6·10^-6)+80·10³=0

1, 2p²+3020p+6·10⁴=0

p₂=-20c^-1, p₃=-2500c^-1

F′ ₂(p)=p²RLC+p(L+R₁RC)+R₁+R+(p-j)(2pRLC+L+R+R₁)

F′ ₂(p₁)=(314j)²·1, 2+j314·3020+6·10³=-95·10⁴

F′ ₂(p₂)=(-20-314j)[(-20) ·2, 4+3020]=-93, 5·10⁴

F′ ₂(p₃)=(-2500-314j)[(-2500) ·2, 4+3020]=-93, 5·10⁴

F₁(p)=U_m(1+RCp)

F₁(p₁)=220 +18, 87

F₁(p₂)= -220 ·0, 2

F₁(p₃)= -220 ·149

4. Записываем уравнение для искомого тока в комплексной форме

5. Переходя от комплексной формы к действительной, получим окончательное уравнение для тока переходного процесса

i(t)=6, 16·10^-3sin (314t+23⁰89¹)-0, 054·10^-3e^-20t-2, 4·10^-3e^-2500t

6. Проверка правильности решения

При t=0 i(0)=0

i(0)=2, 4538-0, 054-2, 4=0