Моделирование и расчет переходных процессов в электрических цепях с помощью ЭВМ

Исследование и расчет электрических цепей в переходных режимах сегодня немыслимы без использования для этих целей компьютерных технологий.

При этом следует хорошо понимать, что никакой компьютер и никакая даже самая современная компьютерная программа пока не может научить пользователей осуществлять ни глубокий анализ, ни синтез электрических цепей. Компьютерные системы выполняют лишь роль мощнейших вспомогательных средств для успешного достижения этих целей на основе моделирования и освобождения исследователя от выполнения рутинных расчетных функций с обеспечением практически абсолютно точных результатов.

Поэтому использованию компьютерных систем при анализе переходных процессов должно предшествовать серьёзное изучение их физических основ, глубокое осознание и понимание всех сопутствующих им электромагнитных процессов и явлений, развитие способности предвидеть их последствия.

К компьютерному моделированию реальных схем электрических цепей прибегают для упрощения экспериментальных исследований, требующих наличия соответствующего лабораторного оборудования и измерительных средств, для проверки правильности выполненных расчетов, и собственно расчета в случаях, когда они сопряжены с необходимостью большого объема вычислений с использованием специальных математических программ.

В качестве таких программ могут использоваться Eureka, Mathlab,
Derive, Maple V, Mathematica, MathCAD и другие.

Особое место среди этих программ занимает программа MathCAD
благодаря сочетанию в ней больших возможностей с удобными правилами
использования и сравнительно скромными требованиями к аппаратным ресурсам.

Эта программа позволяет проводить вычисления и расчеты по сложным
аналитическим зависимостям, решение линейных и нелинейных
алгебраических уравнений, расчеты, связанные с использованием комплексных чисел, составление таблиц, воспроизводство графиков аналитических функций и т.д.

Программа MathCAD позволяет проводить следующие действия:

1) расчеты по сложным формулам, расчеты зависимостей, решение нелинейных алгебраических уравнений, решение систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, вычисление выражений с комплексными числами, расчеты со стандартными тригонометрическими и алгебраическими функциями, расчеты с именованными величинами;

2) составление таблиц;

3) изображение графиков зависимостей;

4) распечатку таблиц и графиков;

5) сохранение текста программы вычислений и результатов вычислений в файлах;

6) загрузку (чтение, редакцию, вычисление) готовых текстов программ и массивов данных.

Таким образом, с помощью программы MathCAD можно рассчитать любую сложную цепь, состоящую из множества приемников и источников электрической энергии, нелинейных элементов в принужденном установившемся режиме, а так же рассчитывать переходные процессы в электрических цепях любой конфигурации.

Для этого на персональном компьютере рекомендуется [3] установить систему /пакет/ компьютерной математики MathCAD последней версии (http: /www/mathsoft.com/).

Детальное описание всех вариантов использования MathCAD в интересах моделирования и расчетов электрических цепей приведено в [3].

В качестве примера использования компьютерной математики MathCAD для расчета переходных процессов в электрических цепях приводится расчет включения в сеть ненасыщенного однофазного трансформатора по его схеме замещения (рис. 5.1), выполненный студентом третьего курса Мухлаевым С.Ю.

С целью проверки правильности расчета и демонстрации возможностей программы MathCAD отдельно проводится расчет трансформатора (схемы замещения) в принужденном установившемся режиме.

 

Рис. 5.1

Понятно, что приведение вторичных параметров трансформатора не должно отразиться на его энергетических показателях: все мощности и фазовые сдвиги во вторичной обмотке приведенного трансформатора остаются такими, как и в реальном трансформаторе.

При опытах холостого хода и короткого замыкания реального лабораторного трансформатора были определены параметры его схемы замещения: R₁=0, 4 Ом, L₁=0, 002 Гн, R_m=61 Ом, L_m=1, 1 Гн, R₂=0, 34 Ом, L₂=0, 002 Гн. Здесь R_1, L₁ учитывают потери первичной обмотки трансформатора (нагрев обмотки и потоки рассеяния), R_m учитывает магнитные потери в сердечнике трансформатора (вихревые токи и перемагничивание), а R_2, L ₂ – потери во вторичной обмотке (нагрев обмотки и потоки рассеяния). Индуктивность L_m, формируемую основным рабочим магнитным потоком трансформатора, с учетом того, что он работает в режиме, далеком от насыщения на линейном участке кривой намагничивания, считаем линейной, т.е. L_m = const. Допустим, что трансформатор подключен на нагрузку равную Z _н= R _н =10 Ом. Тогда в общем случае R₂=0.34+10=10.34 Ом. При подключении трансформатора к источнику синусоидального напряжения, т. е замыкании ключа К1, во всех ветвях схемы возникнут токи I₁, I₂ , I₀ .До замыкания ключа токи во всех ветвях схемы равны нолю. При резком изменении режима работы трансформатора (подключение к сети) происходит переходной процесс. Тогда цепь будет выглядеть следующим образом.

 

Рис. 5.2

 

Поскольку токи в катушках индуктивности мгновенно измениться не могут (первый закон коммутаций), включение трансформатора будет сопровождаться переходным процессом, каждый из токов в котором можно представить в виде суммы двух составляющих: ток свободный и ток принужденный. Принужденная составляющая тока представляет собой составляющую, изменяющуюся с такой же частотой, что и действующее в схеме принуждающее напряжение. Если на зажимы первичной обмотки трансформатора подать напряжение U = U_msin(ω t+ψ _u), принужденная составляющая тока будет иметь вид i= I_msin(ω t+ψ _i). Свободный ток имеет апериодический характер, не поддерживается внешним источником ЭДС и поэтому затухает до нуля c постоянной времени τ = L/R. Для того чтобы определить, как будут изменяться токи во всех ветвях схемы, нужно составить необходимое количество дифференциальных уравнений по 1 и 2 закону Кирхгофа, задаться начальными условиями и решить составленную систему уравнений. Для решения данной системы уравнений используем операторный метод решения в системе Маthсаd. Допустим, что на вход трансформатора подается напряжение u(t)=220 sin(314t), со стандартной частотой сети 50 Гц и начальной фазой напряжения ψ _u =0. Сначала переводим данную цепь из области оригиналов в область операторных изображений: U(t)→ U(p), i₁(t)→ I₁(p), i₁(t)→ I₂(p), i₀(t)→ I₀(p), R₁→ R₁, R₂→ R₂, R_m→ R_m, L₁→ pL₁, L₂→ pL₂, L_m→ pL_m.

Вносимые ЭДС Li(0) во всех ветвях будут равны нулю, т.к. до коммутации все токи равны нулю. Теперь цепь, переведенная в область операторных изображений, имеет вид, представленный на рис. 6.3.

 

Рис. 5.3

 

Как известно электрические цепи в области операторных изображений рассчитываются как обычные цепи постоянного тока с использованием операторных изображений реальных электрических величин и параметров цепи.

Представленная на рис. 6.3 цепь может быть рассчитана с помощью законов Кирхгофа, методом контурных токов или методом двух узлов.

Поскольку нас интересуют токи во всех ветвях схемы, рассчитываем цепь с помощью законов Кирхгофа.

Уравнения при этом имеют следующий вид:

По 1 закону I₁(p) - I₂(p) - I₀(p)=0

По 2 закону 1) I₁(p)* R₁ + I₁(p)* pL₁ + I₀(p)* R_m + I₀(p)* pL_m = U(p)

2) I₂(p)* R₂ + I₂(p)* p L₂ - I₀(p)* R_m - I₀(p)* pL_m =0

Решение составленной системы уравнений производится с использованием математических операций Mathcad для решения систем уравнений с прямым и обратным преобразованием Лапласа.

Ниже приведена распечатка текста программы.

 

 

В начале в системе Маthсаd вводятся величины исходных данных сопротивлений и индуктивностей в качестве обычных переменных Обычные переменные отличаются от системных тем, что они должны быть предварительно определены пользователем, т. е. им необходимо хотя бы однажды присвоить значение. В качестве оператора присваивания используется знак: =, тогда как знак = отведен для вывода значения константы или переменной. Эти знаки можно найти на панели инструментов Маthсаd. После присваиваем знак: = значение функции напряжения от времени.

С помощью встроенной функции laplace, которая также находится на панели инструментов для символьных исчислений функций, переводим функцию напряжения питания в область операторных изображений. Далее записываем систему алгебраических уравнений, вводим ключевое слово “Given” – данным словом начинается фрагмент программы с системой уравнений. В данной программе сделаны некоторые замены инициалов: L_m и R_m заменены соответственно на R₀ и L₀ , так же заменены I₁ - I1, I₂ - I2, I₀ - I0. Для того чтобы решить данную систему в символьном виде (найти значения функций токов), нужно использовать встроенную функцию Маthсаd “Find” в скобках этой функции написать инициалы искомых параметров и вывести значок «вычислить символьно – →». Выражение, представленное в квадратных скобках выдает аналитическое решение системы уравнений. Отдельно выписываем значения всех токов схемы в операторной форме. Для того чтобы перейти от изображения к оригиналу нужно провести обратное преобразование Лапласа. В системе Маthсаd это можно сделать с помощью встроенной функции на панели инструментов “invlaplace”, которая символьно (аналитически) выводит значение оригинала по его найденному изображению. Программа выдает следующие функции токов:

 

Из полученных функций видно, что каждая функция тока включает в себя синусоиду и экспоненту, следовательно, токи во всех ветвях схемы будут состоять из свободной составляющей Ae^{α t} и принужденной составляющей I_msin(ω t+ψ _i). Степенные коэффициенты экспонент во всех функциях одинаковы, значит характер переходного процесса, во всех ветвях схемы одинаковый, т. е переходной процесс во всей цепи начинается и заканчивается одновременно. Построим графики зависимости токов I_1, I_2, I₀ от времени, предварительно задав интервал по времени от 0 до100 и шаг 0, 1и выбрав на панели инструментов график в декартовой системе координат.

По графикам видно, что установившийся режим наступает практически мгновенно. Это связано с тем, что степенной коэффициент экспоненты очень мал а=-2687, 13(график такой экспоненты практически совпадает с положительными полуосями декартовой системы координат). Переходной процесс в цепи пройдет за доли секунд, после чего графики токов как бы впишутся в соответствующие графики установившихся токов.

Для проверки правильности выполненных вычислений рассчитаем цепь в установившемся режиме с помощью Маthсаd символическим методом. Ниже приведена распечатка текста программы.

 

 

Аналогично присваиваются значения сопротивлений и индуктивностей. После чего находим полное комплексное сопротивление каждой ветви, используя присвоенные значения сопротивлений и индуктивностей, при этом умножая значение индуктивности на мнимую единицу i и на угловую частоту ω =314. Переводим функцию питающего напряжения в комплексную форму (комплексная амплитуда). Записываем систему алгебраических уравнений с ключевым словом Given. Используя встроенную функцию Find, находим значения токов в комплексной форме. Находим модуль и аргумент комплексных чисел, используя знак модуля и оператор arg. Записываем уравнения токов в виде синусоид, где модуль это амплитуда синусоиды, а аргумент это начальная фаза синусоиды в радианах.

Аналогично, как и в первом расчете, строим графики токов.

 

Графики токов в установившемся режиме схожи с графиками в переходном режиме. Откуда можно сделать вывод, что программа произвела расчет правильно.