Задача №5. Пользуясь операторным методом определить ток переходного процесса в цепи рис

Пользуясь операторным методом определить ток переходного процесса в цепи рис. 5.1 после размыкания ключа К.

Дано i_L(0)=0, U_С(0)=-25 B, R=10 Ом, L=10^-2 Гн, С=10^-4 Ф, U(t)=100sin(10³t+ ).

Рис. 4.26

Решение

1. Расчет цепи до коммутации, который в данном случае целесообразно было бы произвести в символической форме, здесь не нужен, ибо ток в индуктивности i_L(0)=0 и напряжение на емкости U_С(0)=-25 известны.

2. Переводим заданную цепь в операторную форму (рис. 5.2), предварительно перейдя от реальных функций ЭДС источника и вносимой емкостью ЭДС к их комплексным изображениям:

Рис. 4.27

 

U(t)=e(t)=U_msin(ω t+ψ)→ U_me^jψ e^{jω t}=

=

U_C(0) → jU_C(0) → j .

Здесь U_m=100 В, ψ =π /4, ω =10³ c^-1

3. Рассчитываем полученную операторную схему с помощью закона Ома (последовательное соединение двух источников и трех приемников):

4. Записываем уравнение для искомого тока на основании исходной формы теоремы разложения и находим его элементы, учитывая то, что в этом случае в качестве оригинала выступают не сами функции, а их комплексные изображения:

Полином знаменателя здесь имеет три корня р₁=10³j, р_{2, 3}=-500±j500 .

4.1. Находим значения полинома числителя при р₁, р₂, р₃.

4.2. Находим производную полинома знаменателя

и ее значения при р=р₁ и, например, при р=р₃:

5. Записываем искомый ток переходного процесса в комплексной форме

6. Беря мнимую часть от полученного уравнения в комплексной форме, найдем окончательное выражение для искомого тока в функции времени

Имеем