Уравнения вынужденных колебаний, их решения

 

Под вынужденными колебаниями понимают колебания, происходящие в системе в результате внешнего воздействия (внешней силы или внешнего напряжения), изменяющегося со временем по гармоническому закону. При этом колебания в системе происходят на циклической частоте внешнего воздействия, а амплитуды колебаний различных величин в системе будут зависеть от этой частоты.

Рассмотрим дифференциальное уравнение и его решение для вынужденных колебаний, происходящих в колебательном контуре под действием внешнего напряжения, изменяющегося по гармоническому закону

. (5.60)

В этом случае дифференциальное уравнение (5.1) примет следующий вид:

. (5.61)

Известно, что решением этого уравнения является следующее выражение

. (5.62)

Из формулы (5.62) следует, что первое слагаемое представляет собой уравнение свободных затухающих колебаний системы и амплитуда этих колебаний с течением времени уменьшается. Если взять время t, большее времени установления стационарного режима колебаний в контуре (t > t _уст), то тогда в выражении (5.62) останется только второе слагаемое (первым слагаемым можно пренебречь), которое представляет собой уравнение вынужденных колебаний заряда q на обкладках конденсатора

t > t _уст: . (5.63)

Аналогичные уравнения можно записать для напряжения U_C на конденсаторе и силы тока I в контуре

, . (5.64)

Как уже отмечалось, амплитуды колебаний этих величин зависят от частоты внешнего напряжения, такие зависимости называют резонансными кривыми: , , .

Выведем формулы для этих зависимостей. Для этого используем формулу Эйлера (5.40) для комплексной формы записи гармонического колебания.

, , ,

.

Подставим эти выражения в формулу (5.61):

,

.

Два комплексных числа равны, если будут равны их вещественные и мнимые части, поэтому

, . (5.64а)

Возведем каждое уравнение (5.64а) в квадрат, сложим их и получим

. (5.65)

Разделим уравнения (5.64а) одно на другое, что приводит к формуле

. (5.66)

Используя выражение (5.65), запишем

. (5.67)

. (5.68)

Рассмотрим подробнее резонансные кривые для амплитуды напряжения на конденсаторе и амплитуды силы тока в контуре.