Характеристики, вводимые для описания затухающих колебаний

 

Рассмотрим кратко величины, вводимые для описания затухающих колебаний.

1.Критическое сопротивление контура (критический коэффициент сопротивления среды ). Критическое сопротивление контура – это такое сопротивление, при котором в контуре начинается апериодический разряд. В этом случае колебания в контуре отсутствуют, заряд на обкладках конденсатора убывает монотонно до нуля (кривая 1 на рис. 5.16), или, пройдя один раз положение равновесия, заряд конденсатора в итоге монотонно будет убывать до нуля (кривая 2 на рис. 5.16).

Рис. 5.16

Убывание заряда , смещения тела в механической системе по кривым 1 или 2, либо по кривой, расположенной между ними, зависит от начальных условий. Например, если поместить физический маятник в жидкую вязкую среду и, отклонив его от положения равновесия, отпустить без начальной скорости, то тогда смещение маятника будет изменяться по кривой 1 (рис. 5.16, б). Если же отпустить маятник с начальной скоростью, направленной к положению равновесия, то тогда его смещение может со временем изменяться по кривой 2 (рис. 5.16, б), т.е. он пройдет один раз положение равновесия, затем отклонится, и после этого в итоге будет монотонно приближаться к положению равновесия.

Выведем формулу для критического сопротивления контура через параметры контура L и C. При увеличении сопротивления угловая частота затухающих колебаний будет уменьшаться, а период колебаний Т_З будет возрастать, и для сопротивления , равного , можно записать

: , ,

. (5.51)

Для в контуре наблюдается апериодический разряд, а при в контуре происходят затухающие колебания.

По таблице аналогий (см. табл. 5.1) для критического коэффициента сопротивления среды можно записать (L® m, 1/С ® к)

. (5.52)

2. Время релаксации τ – это время, в течение которого амплитуда колебаний убывает в e раз (e -основание натурального логарифма):

, . (5.53)

За время релаксации в системе совершается N_e полных колебаний:

(5.54)

3. Логарифмический декремент затухания δ равен натуральному логарифму отношения двух амплитуд, взятых через период:

. (5.55)

4. Добротность Q системы можно ввести как величину, определяющую потери энергии колебаний системы за один условный период колебаний,

. (5.56)

Полная энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды колебаний и поэтому выражение (5.56) можно записать в следующем виде:

. (5.57)

Из формулы (5.56) следует, что чем выше добротность Q системы, тем медленнее в ней затухают колебания.

Приведем ориентировочные значения Q для различных систем:

1) колебательный контур на радиочастотах ( ~ 10⁶ рад/с): Q ~ 100; 2) полый резонатор диапазона сверхвысоких частот (ω ~ 10¹¹ рад/с): Q ~ 10⁵; 3) камертон: Q ~ 10⁴; 4) колебания кварцевой пластины: Q ~ 10⁵; 5) излучение атома как колебательной системы: Q ~ 10⁷.

Как видно, для применяемых на практике систем Q ³ 100, т.е. для них выполняются условия малого затухания:

.

Тогда из формулы (5.57) получим ()

. (5.58)

Для добротности механической системы и колебательного контура из формулы (5.58) в условиях малого затухания можно получить следующие формулы:

, . (5.59)