Операции над множествами. 1. Множества А и В равны, А = В, тогда и только тогда, когда А Ì В и В Ì А, т.е

1. Множества А и В равны, А = В, тогда и только тогда, когда А Ì В и В Ì А, т.е. состоят из одинаковых элементов, причем порядок следования элементов не имеет значения: если А = {1; 2; 3}, а В = {2; 1; 3}, то А = В.

2. Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и А, и В: .

3. Объединением (или суммой) множеств А и В называется множество С всех элементов, входящих либо в А, либо в В. Причем общие элементы учитываются только один раз:

.

4. Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из тех элементов множества А, которые не содержатся в множестве В: . Отметим, что А \ В не равно В \ А.

Заметим, что на втором рисунке В Ì А. В этом случае разность А \ В называется дополнением множества В до множества А и обозначается С_АВ = А \ В.

5. Симметрической разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих только А и только В: .

6. Абсолютным дополнением множества А называется множество всех элементов, которые не принадлежат множеству А. Например, если А ={ x| x 2}, то ={ x| x > 2}.

Введенные выше операции распространяются и на несколько множеств. С помощью диаграмм Эйлера можно легко доказать ряд свойств операций с множествами, во многом похожих на обычные арифметические. Наиболее часто встречающимися являются следующие свойства:

1. ; – коммутативность.

2. ; – ассоциативность.

3. ; – дистрибутивность.

4. .

5. – идемпотентность.

6. ; – поглощение.

7. .

8. .

9. ; – двойственность.