Спектральное представление стационарных случайных процессов. Теорема Винера-Хинчина
Рассмотрим стационарный случайный процесс Х(t) c нулевым математическим ожиданием:
с некоторой детерминированной спектральной плотностью Важным вопросом является следующий: какими свойствами должны обладать случайные функции Свойства случайной спектральной плотности: 1) Прежде всего усредним мгновенные значения сигналов x(t) по ансамблю реализаций и приравняем его к нулю. Это равенство будет выполняться тождественно при любом значении t, если потребовать выполнения условия 2) Возьмём комплексно сопряжённый сигнал, так что наряду с (6.19) справедливо равенство:
Запишем выражение функции корреляции процесса X(t), используя спектральные разложения случайных реализаций: (6.21) Здесь во внутреннем подынтегральном выражении содержится множитель
Случайная спектральная плотность Введём в формулу (6.22) множитель пропорциональности, зависящий от частоты, и запишем это равенство таким образом:
Функция Подставив (6.23) в (6.21) приходим к важному результату:
Итак функция корреляции и спектр мощности стационарного случайного процесса связаны между собой преобразованиями Фурье. Формулы (6.24) и (6.25) составляют содержание теоремы Винера-Хинчина (1934 г. Хинчин А.Я. и Н. Винер). Для того чтобы выяснить физический смысл дисперсии, положим в (6.24)
Следует подчеркнуть различие между энергетическим спектром Свойства спектральной плотности мощности 1) По своему физическому смыслу спектр мощности вещественен и неотрицателен: Необходимо указать, что спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса, будучи всегда вещественной, не содержит никакой информации о фазовых соотношениях между отдельными спектральными составляющими. Поэтому по спектру мощности принципиально невозможно восстановить какую либо отдельно взятую реализацию случайного процесса. 2) Поскольку
3. Целесообразно ввести так называемый односторонний спектр мощности
Функция
4. В технических расчётах часто вводят односторонний спектр мощности N(f), представляющий собой среднюю мощность случайного процесса, приходящуюся на интервал частот шириной в 1 Гц:
При этом, как легко видеть Весьма важным параметром случайных процессов является интервал корреляции. Случайные процессы, как правило, обладают следующими свойствами: их функция корреляции стремится к нулю с увеличением временного сдвига Числовой характеристикой, служащей для оценки «скорости изменения» реализации случайного процесса, является интервал корреляции
Если известна информация о поведении какой-либо реализации «в прошлом», то возможен вероятностный прогноз случайного процесса на время порядка Ещё одним существенным параметром для случайного процесса является эффективная ширина спектра. Пусть исследуемый случайный процесс характеризуется функцией Отсюда получается формула для эффективной ширины спектра:
Вне пределов указанной полосы спектральная плотность случайного процесса считается равной 0. Этой числовой характеристикой часто пользуются для инженерного расчёта дисперсии шумового сигнала: Если реализации случайного процесса имеют размерность напряжения (В), то относительный спектр мощности N имеет размерность
|