Типовые модели случайных сигналов
А) Белый шум. стационарный случайный процесс с постоянной на всех частотах спектральной плотностью мощности называется белым шумом. (6.34) Термин «белый шум» образно подчёркивает аналогию с «белым» (естественным) светом, у которого в пределах видимого диапазона интенсивность всех спектральных составляющих приблизительно одинакова. По теореме Винера-Хинчина функция корреляции белого шума: равна нулю всюду кроме точки . Средняя мощность (дисперсия) белого шума неограниченно велика. Белый шум является дельта-коррелированным процессом. Некоррелированность мгновенных значений такого случайного сигнала означает бесконечно большую скорость изменения их во времени – как бы мал ни был интервал , сигнал за это время может измениться на любую наперёд заданную величину. Белый шум является абстрактной математической моделью и отвечающий ему физический процесс в природе, безусловно, не существует. Однако это не мешает приближённо заменять реальные достаточно широкополосные случайные процессы белым шумом в тех случаях, когда полоса пропускания цепи, на которую воздействует случайный сигнал, оказывается существенно уже эффективной ширины спектра шума. Б) Случайный синхронный телеграфный сигнал Найдём функцию корреляции и спектральную плотность мощности телеграфного сигнала. Под случайным синхронным телеграфным сигналом понимается центрированный случайный процесс, принимающий с равной вероятностью значения +1 и -1, причём смена значения может происходить только в моменты времени, разделённые промежутком (тактовым интервалом). Значения на разных тактовых интервалах независимы. Пример реализации такого процесса приведен на рисунке: Границы тактовых интервалов у разных реализаций не совпадают, так что любой момент времени на интервале от 0 до Т может с равной вероятностью оказаться моментом начала такта. Для определения функции корреляции рассмотрим два сечения в моменты и , обозначим - через и найдём математическое ожидание произведения . Если > , то эти сечения принадлежат разным тактовым интервалам, и произведение может с равной вероятностью принимать значения +1 и -1, так что его математическое ожидание равно нулю. Если же < , то возможны два случая: случай А, когда они принадлежат одному интервалу и следовательно, =1, и случай Б, когда они принадлежат разным интервалам и может с равной вероятностью равняться +1 и -1. Поэтому при < математическое ожидание равно вероятности P(A) того, что оба сечения оказались в одном интервале. Отсюда видно что случай А имеет место, если первое из двух сечений отстоит от начала тактового интервала не более чем на , а вероятность этого равна . Таким образом: Так как зависит только от разности - = , а , то процесс стационарный. График функции корреляции Спектральную плотность мощности синхронного сигнала можно определить по формуле Откуда: (6.35) График спектральной плотности: В) Гауссово (нормальное) распределение. В теории случайных сигналов фундаментальное значение имеет гауссова плотность вероятности. (6.36) содержащая два числовых параметра m и . График данной функции представляет собой колоколообразную кривую с единственным максимумом в точке x=m. При уменьшении график всё более локализуется в окрестности точки x=m. Непосредственным вычислением можно убедиться, что параметры гауссова распределения имеют смысл соответственно математического ожидания и дисперсии: ; . Функция распределения гауссовой случайной величины Замена переменной даёт: (6.37) Здесь Ф интеграл вероятностей График функции F(x) имеет вид монотонной кривой, изменяющейся от 0 до 1.
|