Магнетики

Ближний порядок возникает за счет короткодействующих сил взаимодействия между атомами или спинами. Например, в случае магнетика вводится гамильтониан Гейзенберга, состоящий из суммы слагаемых вида .

Они описывают взаимодействие между спинами, расположенными в узлах и . По условию при обменном интеграле стоит знак минус, так что случаю ферромагнитного упорядочения (т. е. параллельным спинам) соответствует положительное значение J. В полный гамильтониан системы вводится и слагаемое, описывающее влияние внешнего магнитного поля на магнитный момент каждого спина

. (2.8)

Рис. 2.11. а – конфигурация частиц в модели Изинга. Она может описывать: б – расположение спинов; в – расположение атомов в бинарном сплаве; г – расположение частиц в решеточном газе.

 

В общем случае обменный интеграл может как угодно зависеть от направления и длины вектора . Однако, практически чаще всего имеют дело с моделями, в которых этот интеграл считается отличным от нуля только для ближайших или ближайших и следующих за ними соседей. Для некоторых особых типов кристаллов можно ввести анизотропное взаимодействие, рассматривая J как тензор. При этом

. (2.9)

Гамильтониан модели Изинга получается отсюда, если наложить на спины условие квантования и пренебречь величиной . Переобозначив соответствующие переменные, получим

(2.10)

Сплавы

Модель Изинга можно использовать для описания межатомных взаимодействий в бинарном сплаве. Допустим, например, что парам атомов АА, АВ и ВВ отвечают соответственно энергии , , . Тогда полная энергия системы запишется в виде

При этом числа пар каждого типа ограничены соотношениями

и .

Далее, по условию, число sравно +1 или -1 в зависимости от того, занят ли данный узел атомом типа А или B. Отсюда вытекает дальнейшее соотношение:

,

Соответственно для энергии получаем:

(2.11)

С точностью до постоянного слагаемого это выражение совпадает с правой частью формулы (2.10). Таким образом, ближний порядок в сплаве будет таким же, как и в магнетике Изинга, если роль «обменного интеграла» и напряженности магнитного поля играют соответственно выражения

, .

Так, например, если J > 0, то атомы данного сорта стремятся объединиться в кластеры, подобно тому, как в ферромагнетике предпочтительной оказывается параллельная ориентация спинов. С другой стороны, при J < 0 наблюдается тенденция к образованию пар неодинаковых атомов - соответственно противоположным спинам в антиферромагнетике. Однако, если энергия, необходимая для замещения атома А атомом В, не зависит от состояния ближайших соседей и величина J обращается в нуль, то система оказывается совершенно неупорядоченной.

В случае «решеточного газа» выражение для энергии дается по-прежнему формулой (2.11), только под теперь надо понимать энергию взаимодействия между атомами, а равенство = = 0 обозначает энергии, связанные с наличием «дырок».