Спектральный беспорядок

Пусть произвольная случайная переменная соответствует узлу решетки с номером . Роль этой переменной может играть, например, магнитный момент локализованного спина или смещение атома из своего узла. Предположим, что рассматриваемая физическая модель обладает трансляционной инвариантностью решетки. Тогда возможно ввести новые переменные с помощью преобразования Фурье:

, .

Рассмотрим статистическую корреляционную функцию: . Для нее можно получить:

.

Корреляционная функция представляет собой фурье-образ квадрата спектральной амплитуды возбуждения. (Эта теорема оказывается верной и в общем случае). При соответствующих условиях спектральное представление беспорядка заметно упрощает задачу.

Введем дополнительную гипотезу: пусть амплитуды мод статистически независимы для разных . Такую систему можно рассматривать как спектрально неупорядоченную. Действительно, статистические свойства ее определяются скорее переменными в обратном пространстве, а не в пространстве узлов.

Рассмотрим модель спектрального беспорядка на примере задачи о спиновых волнах в ферромагнетике. Будем исходить из системы с гамильтонианом:

,

предполагая, что она близка к идеально упорядоченному состоянию, когда параметр дальнего порядка близок к единице.

Переменная будет обозначать амплитуду отклонения спина от максимального значения . Введем операторы рождения и уничтожения спиновой волны – , .

Продольная спиновая корреляционная функция задается выражением:

.

С помощью стандартных линейных преобразований можно привести гамильтониан к виду:

,

Пусть обменное взаимодействие распространяется только на z ближайших соседей, находящихся на расстоянии a. Далее, запишем выражение для спектра магнонов:

Поскольку в последующих выкладках будем работать в области малых q, то можем разложить экспоненту по аргументу и раскрыть сумму по взаимно противоположным соседям:

Средний квадрат амплитуды или, что то же самое, магнонное число заполнения выражается через обычную функцию распределения:

.

В приближении получим

.

Рассмотрим корреляционную функцию при больших R. Сумму теперь можно заменить интегралом. Учитывая, что основной вклад дадут слагаемые с малым q, получим:

, (2.20) где .

В последнем интеграле, переходя к сферическим координатам, запишем:

Таким образом, продольная спиновая корреляционная функция

пропорциональна , причем характерная длина ее изменения (длина корреляции) . (2.21)

При , .Видно, что, поскольку , то чем больше взаимодействие между спинами, тем дальше в системе распространяется корреляция.