Метод Ньютона. Рассмотрим систему нелинейных уравнений 2-го порядка (89) в общем виде

Рассмотрим систему нелинейных уравнений 2-го порядка (89) в общем виде. Однако необходимо учитывать, что метод Ньютона может использоваться и для систем уравнений более высокого порядка.

Выберем х₀ и у₀ в качестве грубого приближения к решению, х₀ и у₀ могут выбираться либо на этапе отделения корней, либо из физических соображений или при постановке задачи.

Рис. 79. Отделение корней

Для реализации последовательного приближения грубого приближения к решению (точному) х и у необходимо записать в алгоритм поиска наиболее точного решения в следующем виде:

(92)

где i =0, 1, ¼, при условии, что х₀ и у₀ известны.

То есть для решения системы уравнений необходимо указать правила нахождения добавок h_i, k_i.

Для этого введем следующее обозначение

. (93)

Подставим (93) в систему (89):

. (94)

Разложим уравнения системы (94) в ряд Тейлора в окрестностях точки (х₀, у₀), при этом ограничимся линейными членами разложения:

, (95)

где q₁, q₂ – нелинейные относительно (x-x₀) и (y-y₀) члены разложения.

Если пренебречь q₁ и q₂, обозначить , ,

то получим систему линейных уравнений относительно h и k:

. (96)

Решение системы (96) даст неизвестные h и k, которые приближают х₀, y₀ к точному решению, но точного значения корня не обеспечивают (вследствие пренебрежения остаточными членами разложения q₁ и q₂).

Т. к. f(x₀, y₀), j(x₀, y₀), f’_x(x₀, y₀), f’_y(x₀, y₀), j_x^’(x₀, y₀), j_y^’(x₀, y₀) – константы, то систему уравнений (96) можно представить в привычном виде:

. (97)

Решение системы (97) может быть получено с использованием методов решения систем линейных уравнений, например, правила Крамера:

; , где

Определитель матрицы, составленный из первых производных системы уравнений, называется Якобианом. После того как h и k найдено, необходимо повторять процесс поиска новых значений h и k и до тех пор, пока решение не достигнет заданной степени точности e. При этом в качестве начального приближения выбирается всякий раз очередное приближение к решению, т. е. итерационный процесс поиска можно представить в следующем виде:

. (98)

Условием прекращения поиска решения является выполнение следующего условия:

, (99)

причем эти условия должны выполняться одновременно.

Таким образом, поиск решения выполняется при реализации следующей последовательности действий:

1) выбираются начальные значения х₀ и у₀;

2) для этих значений рассчитываются значения функций f, j, f'_x, f'_y, j’_x, j’_y;

3) решается система линейных уравнений (96), т. е. находятся значения h и k;

4) по формулам уравнений (98) находятся значения х, у. Процесс поиска, т. е. действия (2)–(4) выполняются до тех пор, пока не выполнится условие достижения заданной степени точности (99).

Блок-схема решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона представлена на рис. 80.