Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод Ньютона. Рассмотрим систему нелинейных уравнений 2-го порядка (89) в общем виде




Рассмотрим систему нелинейных уравнений 2-го порядка (89) в общем виде. Однако необходимо учитывать, что метод Ньютона может использоваться и для систем уравнений более высокого порядка.

Выберем х0 и у0 в качестве грубого приближения к решению, х0 и у0 могут выбираться либо на этапе отделения корней, либо из физических соображений или при постановке задачи.

 
 

Рис. 79. Отделение корней

Для реализации последовательного приближения грубого приближения к решению (точному) х и у необходимо записать в алгоритм поиска наиболее точного решения в следующем виде:

(92)

где i=0, 1, ¼, при условии, что х0 и у0 известны.

То есть для решения системы уравнений необходимо указать правила нахождения добавок hi, ki.

Для этого введем следующее обозначение

. (93)

Подставим (93) в систему (89):

. (94)

Разложим уравнения системы (94) в ряд Тейлора в окрестностях точки (х0, у0), при этом ограничимся линейными членами разложения:

,(95)

где q1, q2 – нелинейные относительно (x-x0) и (y-y0) члены разложения.

Если пренебречь q1 и q2, обозначить , ,

то получим систему линейных уравнений относительно h и k:

. (96)

Решение системы (96) даст неизвестные h и k, которые приближают х0, y0 к точному решению, но точного значения корня не обеспечивают (вследствие пренебрежения остаточными членами разложения q1 и q2).

Т. к. f(x0, y0), j(x0, y0), f’x(x0, y0), f’y(x0, y0), jx(x0, y0), jy(x0, y0) – константы, то систему уравнений (96) можно представить в привычном виде:

. (97)

Решение системы (97) может быть получено с использованием методов решения систем линейных уравнений, например, правила Крамера:

; , где

Определитель матрицы, составленный из первых производных системы уравнений, называется Якобианом. После того как h и k найдено, необходимо повторять процесс поиска новых значений h и k и до тех пор, пока решение не достигнет заданной степени точности e. При этом в качестве начального приближения выбирается всякий раз очередное приближение к решению, т. е. итерационный процесс поиска можно представить в следующем виде:

. (98)

Условием прекращения поиска решения является выполнение следующего условия:

, (99)

причем эти условия должны выполняться одновременно.

Таким образом, поиск решения выполняется при реализации следующей последовательности действий:

1) выбираются начальные значения х0 и у0;

2) для этих значений рассчитываются значения функций f, j, f'x, f'y, j’x, j’y;

3) решается система линейных уравнений (96), т. е. находятся значения h и k;

4) по формулам уравнений (98) находятся значения х, у. Процесс поиска, т. е. действия (2)–(4) выполняются до тех пор, пока не выполнится условие достижения заданной степени точности (99).

Блок-схема решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона представлена на рис. 80.







Дата добавления: 2014-11-12; просмотров: 336. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.002 сек.) русская версия | украинская версия