Метод итераций. Запишем систему нелинейных уравнений:

Запишем систему нелинейных уравнений:

.

Приведем ее к нормальному виду:

. (100)

Рис. 80. Блок-схема решения методом Ньютона

Выберем грубые начальные приближения к решению х₀, у₀. Подставляя их в правую часть системы, можно получить некоторые новые приближения x₁, у₁. Повторяя вновь процесс подстановки найденных значений в первую часть системы (100), получим последовательность приближений.

Последовательность х_i, у_i будет сходиться к решению системы (89) при выполнении следующих условий сходимости.

Условия сходимости последовательности х_i у_i.

1. Если в замкнутой окрестности R имеется только один корень (действительный). Для двумерного случая замкнутая окрестность R определяется следующим соотношением (рис. 81):

Рис. 81. Окрестность R

Под корнем будем понимать вектор решений, который в двумерном случае имеет 2 компонента: х и у.

2. Функции f₁ и j₁ в области R должны быть непрерывны и дифференцируемы.

3. В области R выполняются следующие условия.

или

При выполнении всех трех условий последовательность х_i, y_i имеет предел, т. е. сходится, и этот предел является решением системы уравнений.

Начальные приближения должны выбираться в области R. Условием достижения заданной степени точности является выполнение следующих условий:

.

Блок-схема решения системы нелинейных уравнений методом итераций представлена на рис. 82.