Студопедия — Метод Ньютона (метод касательных)
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод Ньютона (метод касательных)






Общая стратегия метода состоит в замене на каждой итерации функции f(x) приближенной линейной зависимостью.

Замена функции прямой, т. е. её линеаризация, проводится следующим образом. Пусть имеется такое приближение х(k-1) к корню уравнения, что оно отличается от точного решения на достаточно малую величину h(k):

x*=x(k-1) + h(k) ,

тогда функция f(x) в окрестности точки х(k-1) может быть разложена в ряд Тейлора

Т. к. f(x*) º 0, то, ограничиваясь линейными относительно h членами разложения, можно получить формулу для приближенного расчета шага h(k):

. (61)

Значение h(k) не точно. Тем не менее, оно дает новое приближение

х(k)=x(k-1) + h(k), (62)

которое расположено ближе к корню, чем предыдущее. Тогда из новой точки x(k) можно сделать еще один шаг для дальнейшего уточнения значения корня по той же методике. В результате организуется итерационный алгоритм поиска корня уравнения из выбранной некоторым образом точки начального приближения х(0).

 
 

Рис. 53. Алгоритм поиска корня уравнения методом дихотомии

Вычисления заканчиваются тогда, когда два последовательных приближения различаются на величину, не превышающую заданной точности e, т. е.

или . (63)

В геометрической интерпретации производная определяет тангенс угла a наклона касательной к функции (рис. 54). Поэтому значение h(k) (61) можно также получить из прямоугольного треугольника, образующегося с помощью касательной.

 
 

Рис. 54. Геометрическая интерпретация метода Ньютона

Как видно из приведенного рисунка, очередным приближением к решению оказывается точка пересечения оси х с касательной, проведенной к графику функции в точке с координатами (k-1)), f(x(k-1)).

Однако если касательные проводить из точки a, то уточнение корня не будет происходить.

Рассмотрим другой возможный график функции (рис. 55). В этом случае проводить касательные нужно из точки a.

Из приведенных рисунков видно, что для уточнения корня функции f(x) на [a, b] нужно определить, с какого конца интервала необходимо начинать итерационный процесс поиска.

Если f’(x)* f² (x) > 0или f(b)* f² (x) > 0, где " x Î [ a, b ], то процесс поиска начинается с точки b.

Если f’(x)* f² (x) < 0 " x или f(а)* f² (x) > 0, то процесс поиска начинается с точки а.

 
 

Рис. 55. Возможное поведение функции

Метод Ньютона требует информации о значении функции, ее первой и второй производной, т. е. большей, чем метод дихотомии. Но метод Ньютона теоретически обладает самой высокой скоростью сходимости. Кроме того, метод Ньютона не требует выполнения каких-либо условий сходимости последовательности xk. Блок-схема реализации метода приведена на рис. 56.







Дата добавления: 2014-11-12; просмотров: 973. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Сравнительно-исторический метод в языкознании сравнительно-исторический метод в языкознании является одним из основных и представляет собой совокупность приёмов...

Концептуальные модели труда учителя В отечественной литературе существует несколько подходов к пониманию профессиональной деятельности учителя, которые, дополняя друг друга, расширяют психологическое представление об эффективности профессионального труда учителя...

Конституционно-правовые нормы, их особенности и виды Характеристика отрасли права немыслима без уяснения особенностей составляющих ее норм...

Травматическая окклюзия и ее клинические признаки При пародонтите и парадонтозе резистентность тканей пародонта падает...

Подкожное введение сывороток по методу Безредки. С целью предупреждения развития анафилактического шока и других аллергических реак­ций при введении иммунных сывороток используют метод Безредки для определения реакции больного на введение сыворотки...

Принципы и методы управления в таможенных органах Под принципами управления понимаются идеи, правила, основные положения и нормы поведения, которыми руководствуются общие, частные и организационно-технологические принципы...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.007 сек.) русская версия | украинская версия