Этапы решения нелинейного уравнения

Уравнением называется равенство с переменной, которое в общем виде записывается в виде:

. (59)

Значение переменной х=х*, обращающее уравнение в тождество f(x*)=0 называется корнем уравнения.

Решить уравнение означает найти все его корни. Уравнение, вид которого не позволяет получить формулу для расчета точного значения корня, решается приближенно, например, x= cos (x) (получить систематическое решение невозможно).

Задача приближенного решения уравнения (59) заключается в исследовании функции

с целью поиска такой точки х* на оси, в которой значение функции обращается в нуль, т. е. y*=f(x*)= 0.

Численные методы решения складываются из двух этапов.

1. Отделение корней, т. е. нахождение такого интервала [ a, b ], в котором существует единственный корень. Таких интервалов может быть найдено столько, сколько существует действительных корней у решаемого уравнения.

Существует несколько методов отделения корней: аналитический, графический, графоаналитический. Чаще всего на практике пользуются комбинацией графического и аналитического методов.

Для уравнения f(x) приблизительно строится график. Отделяют интервал [a, b] предположительно содержащий корень, а затем функция в этом интервале исследуется на выполнение трех условий:

- функция в интервале [ a, b ] должна быть непрерывна;

- монотонна на [a, b], т. е. первая производная не меняет свой знак на этом интервале;

- на конце интервала функция f(x) меняет знак.

Если эти условия выполняются, то интервал [a, b] содержит действительный корень, и причем единственный.

Например, требуется отделить корень уравнения

. (60)

Для этого удобно построить графики функций f(x)= sin ( 2 x) и f(x)= ln (x) (рис. 50, а), а затем на оси OX отметить отрезки, локализующие абсциссы точек пересечения рассматриваемых кривых. Из графиков следует, что уравнение имеет корень, принадлежащий отрезку [1; 1, 5]. В другом варианте – построить график функции f(x)= sin ( 2 x)- ln (x). Пересечение графика с осью ОХ – определяет местонахождение корня (рис. 50, б).

а) б)

Рис. 50. Графический способ отделения корней сложной функции

2. Уточнение корня, т. е. нахождение его значения внутри интервала [ a, b ] с заданной степенью точности.

Задача уточнения корня формулируется следующим образом: пусть на интервале [ а, b ] имеется действительный корень и причем единственный. Необходимо найти этот корень с заданной степенью точности e.

Существует большое разнообразие вычислительных методов, реализующих поставленную задачу, однако последовательность основных этапов решения задачи одинакова для всех методов и может быть представлена в виде блок-схемы (рис. 51).

 

Рис. 51. Этапы отделения корней

Все существующие вычислительные методы уточнения корней нелинейного уравнения условно делятся на 3 группы:

- методы деления отрезка;

- методы, основанные на информации о значении первой производной;

- методы, использующие рекуррентные выражения.

В данной лабораторной работе рассматриваются методы, относящиеся к разным группам.