Невозможному событию приписывается вероятность, равная 0

Таким образом, мы установили меру вероятности и диапазон ее возможных значений. Вероятность появления случайного события всегда больше нуля и меньше единицы, что символически записывается следующим образом:

0 < Р(А) < 1,

где А — случайное событие. Р(А) – вероятность появления события А.

Если Р(А) = 1, то событие А точно произойдет. Пример события А: человек с наличием пульса, дыхания и мозговой активности жив.

Если Р(А) = 0, то событие А не произойдет. Пример события А: студенты университета за год не пропустят ни одной лекции.

 

События образуют полную группу событий, если при наличии определенных условий хотя бы одно из них появится непременно. Пример: выявление и невыявление заболевания при проведении профилактического осмотра; промах и попадание в цель при единичном выстреле по цели и т.д.

Вероятность появления какого-либо события из полной группы событий при наличии определенных условий равна 1.

События называются несовместными, если никакие два из них при наличии определенных условий не могут появиться совместно. Пример: здоровый человек, находящийся в контакте с инфекционным больным, не может одновременно заболеть и не заболеть, или заболеть и оказаться носителем инфекции и заболеть и не оказаться носителем инфекции.

Два несовместных события, образующих полную группу несовместных событий, называются противоположными событиями.

Обозначим событие, противоположное основному, той же буквой только с чертой сверху. Например: события «попадание в цель» (А) и «промах» () при одиночном выстреле по цели или события «заболеть» (А) и «не заболеть» () при контакте с инфекционным больным.

Если в группе событий события являются одновременно несовместными и равновозможными и образуют полную группу событий, то события называются случаями, и тогда мы имеем дело со схемой случаев.

Если какой-либо опыт сводится к схеме случаев, то вероятность события можно приравнять частоте благоприятных случаев, т.е. случаев, в которых произошло данное событие.

 

Классическая вероятность применима к ситуациям, когда нам известно число возможных исходов определенного события А. Если обозначить через m число случаев, в которых появилось событие А, а через n — общее число случаев, в которых реализуются определенные условия, тогда вероятность появления события А вычисляется по формуле:

При этом для невозможного события и , для достоверного: и , для случайного: и .

Эта формула пригодна тогда и только тогда, когда опыт сводится к схеме случаев, т. е. обладает симметрией возможных исходов. Большинство же интересующих нас опытов и наблюдений не сводятся к схеме случаев.

Чтобы воспользоваться классической вероятностью, необходимо иметь представление о происходящем событии и оценить количество его исходов. Также необходимо сосчитать общее число событий в данном выборочном пространстве.

Пример. В кармане халата лежат две синих и одна красная ручки. Рассчитать вероятность извлечения красной ручки.

Решение:

Р(Акр) = 1/3 ≈ 0, 33

противоположное событие – извлечение синей ручки: Р(Асин)=2/3≈ 0, 67.

 

Частотой, или эмпирической вероятностью, события А в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых появилось событие А (m), к общему числу опытов (n). Под опытом будем понимать реализацию определенных условий.

Обозначим частоту события через Р* и получим:

При небольшом числе опытов частота носит случайный характер и может заметно измениться от одной группы опытов к другой.

Пример. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет с первого раза? Ниже представлено количество попыток, потребовавшихся студенту по 20 дисциплинам, чтобы получить зачет: 2, 4, 3, 1, 2, 3, 3, 4, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 1, 4, 3, 1, 3, 2.

Решение: Поскольку результат зависит от множества причин, придется опереться на эмпирическую вероятность.

Мы можем представить табличные данные в виде распределения относительных частот (общее количество наблюдений равно 20):

Количество попыток	Количество наблюдений	Доля
1	3	3/20 = 0.15
2	4	4/20 = 0.2
3	8	8/20 = 0.4
4	5	5/20 = 0.25

На основании этих наблюдений следует:

· Событие А = «студент сдаст зачет с 1 раза» - вероятность Р(А) = 0.15

· Событие В = «студенту требуется более 2 попыток, чтобы получить зачет» - вероятность этого Р(В) = 0.40 + 0.25 = 0.65

Итак, частота и вероятность — тесно связанные друг с другом понятия, но существенно различные.

Закон больших чисел: когда эксперимент проводится большое число раз, эмпирическая вероятность этого процесса стремится к классической.

Чтобы продемонстрировать действие этого закона, предположим, что трижды подбрасывая монетку, каждый раз она выпадала «орлом» вверх. Для данного эксперимента эмпирическая вероятность выпадения орла равняется 100%. Но если подбросить монетку 100 раз, эмпирическая вероятность окажется гораздо ближе к классической вероятности в 50%.

Математическую формулировку этой закономерности впервые дал Яков Бернулли в своей теореме, которая представляет собой простейшую форму закона больших чисел. Я. Бернулли показал, что при неограниченном увеличении числа однородных независимых опытов с практической достоверностью можно утверждать, что наблюдаемая частота случайного события будет сколь угодно мало отличаться от вероятности появления события в отдельном опыте.

Практика определенно указывает на то, что при увеличении числа опытов частота стремится к некоторой постоянной величине, которая представляет собой вероятность появления случайного события.

 

Субъективная вероятность. Субъективная вероятность используется тогда, когда классическую и эмпирическую вероятности применить невозможно. В этом случае при оценке вероятности необходимо полагаться на опыт и интуицию. Примером использования субъективной вероятности может служить следующий вопрос: «Какова вероятность того, что пациент будет соблюдать предписанный режим питания?»