Средняя арифметическая

Наиболее распространенным видом средних. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Для общественных явлений характерна аддитивность (суммарность) объемов варьирующего признака, этим определяется область применения средней арифметической и объясняется ее распространенность как обобщающего показателя. Так, например общий фонд заработной платы — это сумма заработных плат всех работников, валовой сбор урожая — сумма произведенной продукции со всей посевной площади.

Чтобы исчислить среднюю арифметическую нужно сумму всех значений признаков разделить на их число.

Средняя арифметическая применяется в форме простой средней и взвешенной средней. Исходной, определяющей формой служит простая средняя.

Средняя арифметическая простая равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений (она применяется в тех случаях, когда имеются несгруппированные индивидуальные значения признака):

х₁ + х₂+х₃+…+х_n Σ х

х_ар = ————————— = ——, (6.3)

n n

где х₁, х₂, …, х_n - индивидуальные значения варьирующего признака (варианты);

n — число единиц совокупности.

Например, требуется найти среднюю выработку одного рабочего (слесаря), если известно, сколько деталей изготовил каждый из 15 рабочих, т.е. дан ряд индивидуальных значений признака, шт.:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле (6.3), шт.:

Х ср = (21+20+20+19+21+19+18+22+19+20+21+20+18+19+20)/15=297/15=19, 8≈ 20 шт.

Средняя из вариантов, которые повторяются различное число раз, или, как говорят, имеют различный вес, называется взвешенной. В качестве весов выступают численности единиц в разных группах совокупности (в группу объединяют одинаковые варианты).

Средняя арифметическая взвешенная - средняя сгруппированных величин х₁, х₂, …, х_n - вычисляется по формуле:

х₁f₁+ х₂f₂+х₃f₃+…+х_nf_n Σ x f

х_ар. _вз. = ————————— = ——, (6.4)

f₁ +f₂+f₃ +…+f_n Σ f

где f_1, f_2. f_3, f_n - веса (частоты повторения одинаковых признаков);

Σ x f - сумма произведений величины признаков на их частоты;

Σ f - общая численность единиц совокупности.

Технику вычисления средней арифметической взвешенной проиллюстрируем на рассмотренном выше примере. Для этого сгруппируем исходные данные и поместим их в табл.

Распределение рабочих по выработке деталей Таблица 6.1

Выработка деталей за смену одним рабочим, шт. х	Число рабочих (веса) f	xf
Итого

По формуле (6.4): Хар = (36+76+100+63+22)/15= 19, 8 ≈ 20 шт.

В отдельных случаях веса могут быть представлены не абсолютными величинами, а относительными (в процентах или долях единицы).

Часто приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним), т.е. среднюю из средних. Так, например, средняя продолжительность жизни граждан страны представляет собой среднее из средних продолжительностей жизни по отдельным регионам данной страны. Средние из средних рассчитываются так же, как и средние из первоначальных значений признака. При этом средние, которые служат для исчисления на их основе общей средней, принимаются в качестве вариантов.

Расчет средней арифметической в рядах распределения.

Если значение осредняемого признака заданы в виде интервалов, т.е. интервальных рядов распределения, то при расчете средней арифметической величины в качестве значений признаков в группах принимают середины этих интервалов, в результате образуется дискретный ряд.

Пример Известны данные о сроках эксплуатации грузовых машин одного из автотранспортных предприятий города…

Составим расчетную таблицу.

Срок эксплуатации, лет хi	Количество грузовых машин, ед f	Середина интервала х,	х, f
до 3 лет 3-5 5-10 10-15		7, 5 12, 5	322, 5
Итого		-	1302, 5

От интервального ряда перейдем к дискретному путем замены интервальных значений их средними значениями (простая средняя между верхней и нижней границами каждого интервала). При этом величины открытых интервалов (первый им последний) условно приравниваются к интервалам, примыкающим к ним (второй и предпоследний).

При таком исчислении средней допускается некоторая неточность, поскольку делается предположение о равномерном распределении единиц признака внутри группы. Однако ошибка будет тем меньше, чем уже интервал и чем больше единиц в интервале. После того как найдены середины интервалов, вычисления делают также, как и в дискретном ряду.

Х_ср = 1302, 5/250= 5, 21 года