Где v - фазовая скорость, -оператор Лапласа.
Решением уравнения
Особым случаем интерференции являются стоячие волны - это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами. Для вывода уравнения стоячей волны предположим, что две плоские волны распространяются навстречу друг другу вдоль оси х в среде без затухания, причем обе волны характеризуются одинаковыми амплитудами и частотами. Кроме того, начало координат выберем в точке, в которой обе волны имеют одинаковую фазу, а отсчет времени начнем с момента, когда фазы обеих волн равны нулю. Тогда соответственно уравнения волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х, и волны, распространяющейся ей навстречу, будут иметь вид
Сложив эти уравнения и учитывая, что k= 2π /λ;, получим уравнение стоячей волны: Из уравнения стоячей волны вытекает, что в каждой точке этой волны происходят колебания той же частоты ω с амплитудой A ст= |2 A cos (2π х /λ)|, зависящей от координаты х рассматриваемой точки. В точках среды, где
амплитуда колебаний обращается в нуль. Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна (A ст=2 А), называются пучностями стоячей волны, а точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю (A ст=0), называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Из вышеприведенных выражений получим соответственно координаты пучностей и узлов:
Из этих формул следует, что расстояния между двумя соседними пучностями и двумя соседними узлами одинаковы и равны λ/2. Расстояние между соседними пучностью и узлом стоячей волны равно λ/4. В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе (в уравнении бегущей волны фаза колебаний зависит от координаты х рассматриваемой точки), все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами (в уравнении стоячей волны аргумент косинуса не зависит от х). При переходе через узел множитель 2 A cos (2π x /λ) меняет свой знак, поэтому фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на π, т. е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе.
Если рассматривать бегущую волну, то в направлении ее распространения переносится энергия колебательного движения. В случае же стоячей волны переноса энергии нет, так как падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны, заключенной между узловыми точками, остается постоянной. Лишь в пределах расстояний, равных половине длины волны, происходят взаимные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно. Электромагнитная волна - это быстропеременное электромагнитное поле. Согласно Максвеллу, если всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле, то должно существовать и обратное явление: всякое изменение электрического поля должно вызывать появление в окружающем пространстве вихревого магнитного поля. Для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел в рассмотрение так называемый ток смещения. Из всех физических свойств, присущих току проводимости, Максвелл приписал току смещения лишь одно - способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле. Таким образом, ток смещения (в вакууме или веществе) создает в окружающем пространстве магнитное поле. Введение Максвеллом понятия тока смещения привело его к завершению созданной им единой теории электромагнитного поля, позволившей с единой точки зрения не только объяснить электрические и магнитные явления, но и предсказать новые, существование которых было впоследствии подтверждено. Из теории Максвелла вытекает, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных. Теория Максвелла, являясь обобщением основных законов электрических и магнитных явлений, смогла предсказать существование электромагнитных волн - переменного электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью. В дальнейшем было доказано, что скорость распространения свободного электромагнитного поля (не связанного с зарядами и токами) в вакууме равна скорости света с =3.108 м / с. Электромагнитные волны на опыте были получены немецким физиком Г.Герцем, доказавшим, что законы их возбуждения и распространения полностью описываются уравнениями Максвелла. Таким образом, теория Максвелла была экспериментально подтверждена. К электромагнитному полю применим только принцип относительности Эйнштейна, так как факт распространения электромагнитных волн в вакууме во всех системах отсчета с одинаковой скоростью с не совместим с принципом относительности Галилея. Таким образом, теория Максвелла, ее экспериментальное подтверждение, а также принцип относительности Эйнштейна приводят к единой теории электрических, магнитных и оптических явлений, базирующейся на представлении об электромагнитном поле.
РЕЗЮМЕ - Автоколивальна система сама управляє зовнішніми впливами, забезпечуючи узгодженість надходження енергії певними порціями в потрібний момент часу (в такт з її коливаннями). - Основною властивістю усіх хвиль, незалежно від їх природи, є перенесення енергії без перенесення речовини. - Біжучими хвилями називаються хвилі, які переносять в просторі енергію. Перенесення енергії в хвилях кількісно характеризується вектором густини потоку енергії. - Напрямок вектора Умова збігається з напрямком переносу енергії, а його модуль дорівнює енергії, яку переносять хвилею за одиницю часу через одиничну площадку, розташовану перпендикулярно напрямку поширення хвилі. - Стоячі хвилі - це хвилі, що утворюються при накладенні двох біжучих хвиль, що поширюються назустріч одна одній з частотами і амплітудами. -Точки, в яких амплітуда коливань максимальна (Aст = 2А), називаються пучностями стоячої хвилі, а точки, в яких амплітуда коливань дорівнює нулю (Aст = 0), називаються вузлами стоячої хвилі. -Точки середовища, що знаходяться у вузлах, коливань не здійснюють. -На відміну від біжучої хвилі, всі точки якої роблять коливання з однаковою амплітудою, але з запізненням по фазі (в рівнянні біжучої хвилі фаза коливань залежить від координати х точки), всі точки стоячої хвилі між двома вузлами коливаються з різними амплітудами, але з однаковими фазами (в рівнянні стоячої хвилі аргумент косинуса не залежить від х). - Поширення хвиль в однорідному ізотропному середовищі в загальному випадку описується хвильовим рівнянням - диференціальним рівнянням в часткових похідних. - Електромагнітна хвиля - це бистро змінююче електромагнітне поле. Згідно Максвеллу, якщо всяке змінне магнітне поле збуджує в навколишньому просторі вихрове електричне поле, то має існувати і зворотне явище: всяка зміна електричного поля повинно викликати появу в навколишньому просторі вихрового магнітного поля. - Утворення стоячих хвиль спостерігають при інтерференції хвиль, що біжить та відображеної. - В напрямку поширення хвилі, що біжить переноситься енергія коливального руху. У разі ж стоячої хвилі перенесення енергії немає, так як падаюча та відбита хвилі однакової амплітуди несуть однакову енергію в протилежних напрямках. Тому повна енергія результуючої стоячої хвилі, укладеної між вузловими точками, залишається постійною. Лише в межах відстаней, рівних половині довжини хвилі, відбуваються взаємні перетворення кінетичної енергії в потенційну і назад.
|
является уравнение любой волны. Соответствующей подстановкой можно убедиться, что уравнению удовлетворяют, в частности, плоская волна и сферическая волна. Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х,волновое уравнение имеет вид
мплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2 А. В точках среды, где
Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженной волн. Например, если конец веревки закрепить неподвижно, то отраженная в месте закрепления веревки волна будет интерферировать с бегущей волной и образует стоячую волну. На границе, где происходит отражение волны, в данном случае получается узел. Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения получается пучность (рис.222, а), если более плотная узел (рис.222, б). Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний противоположных направлений, в результате чего получается узел. Если же волна отражается от менее плотной среды, то изменения фазы не происходит и у границы колебания складываются с одинаковыми фазами - получается пучность.
