Метод Гаусса
Метод является универсальным, т.к. он позволяет решать системы линейных алгебраических уравнений с матрицами любой размерности и квадратными матрицами с определителем, равным нулю. Метод Гаусса состоит в том, что производятся последовательные преобразования исходной системы уравнений в эквивалентную систему до тех пор, пока решение последней не станет очевидным или не станет очевидной неразрешимость системы. Этот процесс осуществляется с помощью элементарных преобразований система линейных алгебраических уравнений, аналогичных элементарным преобразованиям матрицы до получения матриц эквивалентной системы ступенчатого вида. Элементарные преобразования системы уравнений: 1.Перестановка любых двух уравнений. 2. Умножение обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю. 3. Прибавление к обеим частям одного уравнения системы соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число. 4. Вычеркивание уравнение вида 0·х1+0·х2+…+0·хn=0 как не несущего ни какой информации относительно решений системы. Пример 1. Решить систему уравнений методом Гаусса
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы, состоящую из коэффициентов при неизвестных и свободных членов уравнений (столбец свободных членов отделим вертикальной чертой) и приведем ее к ступенчатому виду.
Символ «~» между матрицами означает, что матрицы эквивалентны (у них одинаковые ранги), но не равны.
Теперь прибавим к 3-й строке 2-ю строку, умноженную 7/5, чтобы обнулить коэффициент при x 2 в 3-м уравнении.
Наконец, умножим 3-ю строку на 5, чтобы «избавится» от дробей. В результате преобразований получили матрицу ступенчатого вида.
Эта матрица представляет собой расширенную матрицу системы уравнений, эквивалентной данной системе. Запишем систему уравнений с новыми коэффициентами.
Из последнего уравнения найдем x 3, из 2-го найдем x 2, а из 1-го – x 1.
Проверка: Ответ: (1; 2; 3). В этом примере система имеет единственное решение. Рассмотрим пример, когда система имеет множество решений. Пример 2. Решить систему уравнений:
|
~ 
~
~ 
= 
.
= 
