Студопедия — Системы линейных уравнений
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Системы линейных уравнений






Плавление – переход вещества из твёрдого состояния в жидкое. Плавление протекает при постоянной температуре – температуре плавления.

Для плавления вещества к нему необходимо подводить тепло, определяемое по формуле:

где m – масса вещества, перешедшего в жидкое состояние; λ – удельная теплота плавления – постоянная величина, показывающая, какое количество теплоты потребуется для перевода в жидкое состояние 1 кг твёрдого вещества, взятого при температуре плавления.

Отвердевание (кристаллизация) – переход вещества из жидкого состояния в твёрдое. Процесс протекает при постоянной температуре – температуре кристаллизации, равной температуре плавления.

Для отвердевания вещества от него необходимо отводить тепло, определяемое по формуле

 

Лекция 11

Методы решения систем уравнений установившегося режима

Системы линейных уравнений

Система линейных уравнений установившегося режима формируется при задании нагрузок в узлах в виде постоянного тока Іі = const:

; (1)

В матричной форме её можно записать:

,

где вектор І = Ізд – Yоп Uоп, Ізд – вектор заданных токов в узлах.

 

Для выполнения преобразований будем использовать общепринятую форму записи СЛАУ:

(2)

 

Система уравнений (2) в матричной форме:

а11 а12 … а1n x1 b1

a21 a22 … a2n x2 = b2 (3)

… … … …

an1 an2 … ann xn bn

 

или

и соответствует системе уравнений установившегося режима Y*U=I. При этом элементам матрицы коеффициентов А соответствует элементы матрицы проводимостей Y, вектору неизвестных X соответствует вектор напряжений U и вектору свободных членов В соответствует вектор заданных токов I.

 

Методы решения СЛАУ разделяются на две группы: прямые и итера-ционные.

Прямые (точные) методы позволяют получить точные значения искомо-го решения в результате выполнения конечного числа арифметических опера-ций (метод Гаусса, метод Жордана, метод LU- факторизации, метод двойной факторизации и др.). Используются для решения систем линейных уравнений.

Итерационные (приближенные) методы позволяют получать решение системы уравнений с заданной точностью как результат выполнения опреде-ленного числа итераций (метод Простой итерации, метод Зейделя, метод Ньютона-Рафсона и др.).

Итерационные методы заключаются в многократном повторении единооб-разных вычислений(итераций) с постепенным приближением к искомому ре-зультату. Используются для решения, в основном, систем нелинейных урав-нений.

Решение СЛАУ методом Гаусса

(Метод последовательного исключения неизвестных)

 

Существует много модификаций метода Гаусса, некоторые из них рас-сматриваются как самостоятельные методы. В основе их лежат эквивалент-ные преобразования системы уравнений к тому или иному виду, как резуль-тат последовательного исключения неизвестных.

Классический метод Гаусса включает 2-а последовательных этапа вычисле-ний – прямой и обратный ход.

1. Прямой ход.

Заключается в преобразовании исходной СЛАУ (2), (3) с прямоугольной мат-рицей коэффициентов к эквивалентной системе с треугольной матрицей ко-эффициентов (системы эквивалентны, если решение одной из них является решением другой).

Прямой ход метода Гаусса состоит в последовательном выполнении одно-типных шагов исключения неизвестных. На первом шаге, преобразования вы-полняются таким образом, чтобы исключить элементы уравнений, содержа-щие неизвестную величину х1, из второго и последующих уравнений. Полу-чаем эквивалентную систему уравнений вида:

На втором шаге исключаются элементы, содержащие неизвестную х2 из уравнений, начиная с третьего и т.д. В результате выполнения (n-1) шага ис-ключения неизвестных, получаем эквивалентную систему уравнений с треугольной матрицей коэффициентов:

Для выполнения исключения неизвестных на каждом шаге существуют раз-личные варианты эквивалентных преобразований уравнений (умножение или деление их на один и тот же коэффициент, сложение или вычитание уравне-ний и т.д.), в том числе можно использовать формулы:

 

Здесь: к - номер шага исключения

к =1,….,n-1;

Соответствует номеру уравнения, которое

будучи умноженным на , вычитается из

остальных уравнений.

 

i – номер уравнения из которого исключается неизвестная, і = к+1, …, n;

j – номер элемента в уравнении (номер столбца), j = k, …, n.

 

Диагональные коэффициенты а11, а22(1), а33(2), ..., аnn(n-1) называются ведущи-ми элементами. Они не должны быть равными нулю (условие получения ре-шения). Чем больше эти значения по абсолютной величине, тем точнее будет решение. Достигается это перестановкой уравнений, начиная с (к + 1) – го. Соответствующая модификация метода - метод Гаусса с выбором ведущего элемента.

 

2. Обратный ход метода Гаусса

Заключается в определении зна-чений неизвестных, начиная с по-

следнего.

Из последнего уравнения преоб-разованной системы находим xn, затем подставляем его в пред-последнее уравнение и находим из него xn-1, и так далее. Из пер- вого уравнения определяем x1.

Для проверки правильности решения - найденные значения подставляем в исходные уравнения. Они должны обратиться в тождества.

 

Классический метод Гаусса лежит в основе большинства методов и мо-дификаций, объединенных общим названием - методы исключения. Они базируются на последовательном исключении неизвестных из СЛАУ. Применительно к уравнению установившегося режима, такие преобразова-ния соответствуют исключению узлов и их линий связи из расчетной схемы, то есть, если из системы уравнений установившегося режима исключается неизвестная , то это соответствует исключению первого узла и его линий связи из схемы:

 

 
 

 


При исключении к - го узла, связанного с узлами s и f, звезда узла к преобразуется в многоугольник:

 

       
 
   
 

 

 


Появляется новая линия s-f, её проводимость определяется по формуле:

,

где ykk - cобственная проводимость к- го узла.

Если ветвь s-f уже существовала (с проводимостью ysf(ст)), то проводимость новой линии:

.

 

Проводимость узла yk и ток Ik разносятся в смежные узлы s и f. Эти величины мы можем определить по формулам:

Такое преобразование схемы соответствует к- му шагу исключения неиз-вестных на прямом ходе метода Гаусса и является эквивалентным, т.к. напряжения и токи в остающихся (на данном шаге) ветвях и узлах остаются неизменными.

При выполнении прямого хода метода Гаусса появляются новые ненуле-вые элементы в матрице проводимостей Y. Топологически это соответст-вует образованию новых ветвей при преобразовании многолучевой звезды в многоугольник. Их количество сильно зависит от последовательности рас-смотрения уравнений при выполнении прямого хода.

 

Пример:

 

Решение систем линейных уравнений методом Жордана

(Метод Гаусса без обратного хода)

Решение СЛАУ выполняется за один этап, в результате которого мат-рица коэффициентов А преобразуется в единичную матрицу Е:

 

Ах= В;

Ех= В(n);

x= B(n).

Выполняется n последовательных шагов исключения неизвестных.

На первом шаге первое уравнение делим на ведущий элемент а11 и ис-ключаем неизвестную х1 из всех уравнений начиная со второго (аналогично методу Гаусса):

А(1)х=В(1)

Получаем систему уравнений в виде:

На втором шаге исключения второе уравнение делится на а22(1) и неиз-вестная х2 исключается из всех уравнений, исключая второе уравнение:

 

На к- ом шаге исключения к- ое уравнение делится на коэффициент акк(к-1) при xk и неизвестная хк исключается из всех уравнений, кроме к- го.

Формулы для пересчета коэффициентов aij аналогичны формулам метода Гаусса, но отличаются пределами изменения индекса i: i=1,…,n; i≠k.

В результате выполнения n шагов, исключения неизвестных получаем эквивалентную систему уравнений, в которой матрица коэффициентов равна единичной:

 

 

Ех= В(n); x= B(n).

 

В ней правые части уравнений - искомые значения неизвестных х, то- есть они являются решением исходной системы уравнений.

Возможны модификации этого метода с выбором ведущего элемента.

 

 







Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 494. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Логические цифровые микросхемы Более сложные элементы цифровой схемотехники (триггеры, мультиплексоры, декодеры и т.д.) не имеют...

Примеры задач для самостоятельного решения. 1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P   1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P...

Дизартрии у детей Выделение клинических форм дизартрии у детей является в большой степени условным, так как у них крайне редко бывают локальные поражения мозга, с которыми связаны четко определенные синдромы двигательных нарушений...

Педагогическая структура процесса социализации Характеризуя социализацию как педагогический процессе, следует рассмотреть ее основные компоненты: цель, содержание, средства, функции субъекта и объекта...

Медицинская документация родильного дома Учетные формы родильного дома № 111/у Индивидуальная карта беременной и родильницы № 113/у Обменная карта родильного дома...

Основные разделы работы участкового врача-педиатра Ведущей фигурой в организации внебольничной помощи детям является участковый врач-педиатр детской городской поликлиники...

Ученые, внесшие большой вклад в развитие науки биологии Краткая история развития биологии. Чарльз Дарвин (1809 -1882)- основной труд « О происхождении видов путем естественного отбора или Сохранение благоприятствующих пород в борьбе за жизнь»...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия