Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Зейделя

Суть метода - найденное на текущей (k+1) -й итерации приближение напряжения узла номер (i-1) сразу же используется для нахождения (к+1) -го приближения напряжения следующего i- го узла .

Нелинейное уравнение установившегося режима в форме баланса токов для i- го узла имеет вид:

(1)

Левая часть уравнения – линейна, правая – не линейна. Т.е. уравнение нели-нейно.

Преобразуем это уравнение к виду, удобному для решения итераци-онными методами, т.е. решим его относительно U_i:

(2)

Запишем это уравнение в итерационной форме, т.е. с указанием номеров при-ближений:

(3)

Уравнение (3) соответствует вычислительной схеме метода простой итера-ции.

Если при вычислении U_i^(к+1) в правую часть выражения (3) подставлять найденные на текущей итерации приближения , то получим выражение, соответствующее вычислительной схеме метода Зей-деля:

(4)

Для сети, состоящей из n узлов, нужно записать систему n таких уравне-ний, которая в итерационной форме, соответствующей методу Зейделя, имеет вид:

(5)

 

 

Алгоритм решения СНАУ установившегося режима методом

Зейделя

1. Задание условий и параметров расчета:

точность расчета E, предельное количество итераций n_пр, счетчик

итераций к=0;

2. Задание начальных приближений неизвестных:

принимаем напряжение U⁽⁰⁾=U_ном.

3. Выполнение итерации расчета для всех узлов, кроме опорного, в соот-

ветствии с (5).

При расчете U₁^(к+1) в правую часть 1-го уравнения подставляем к -е

приближения всех неизвестных. При расчете U₂^(к+1) в правую часть

2-го уравнения подставляем только что найденное значение U₁^(к+1) и

к -е приближения остальных неизвестных и т.д. При расчёте послед-

него напряжения U_n^(к+1) в правую часть последнего уравнения подстав

ляем найденные ранее на этой итерации (к+1) -е приближения осталь-

ных напряжений;

4. Проверка завершения итерационного процесса в соответствии с усло-

вием:

(6)

Если это условие не выполняется – возврат к п.3. и повторение расчета

при новых приближениях неизвестных.

 

 

В модели реальной электрической сети могут присутствовать специ-альные узлы, например, узлы с заданным модулем напряжения (узлы с фик-сацией модуля напряжения ФМ). В таких узлах заданными параметрами яв-ляются U_з (модуль напряжения) и P_з (активная мощность). Искомыми явля-ются (угол напряжения) и Q (реактивная мощность), либо вместо могут быть составляющие напряжения -

Для обеспечения фиксации модуля напряжения в ходе расчета можно выполнить следующее: переводим на каждом шаге итерационного процесса, узлы ФМ в состав нагрузочных узлов с использованием уравнений устано-вившегося режима, записанных для Q:

(7)

где U_iз - заданный модуль напряжения в i- ом узле,

- искомые составляющие напряжения в i- ом узле.

При этом должно выполняться условие:

(8)

Для того чтобы это условие выполнялось на каждом шаге итерационно-го процесса, составляющие напряжения корректируют в соответствии со следующими формулами:

(9)

Итерационный процесс заканчивается, когда выполняется условие (6) для всех узлов:

Более точным и надежным критерием завершения итерационного про-цесса является анализ невязок уравнений.

 

 

Сходимость метода Зейделя

Анализируя сходимость итерационного метода – рассматриваем, прежде всего, скорость сходимости (необходимое количество итераций) и характер сходимости (колебательная или экспоненциальная).

Экспериментально выявлен ряд факторов, влияющих на скорость сходи-мости. Сходимость улучшается при:

1) более точном задании начальных приближений по напряжению;

1)2) разгрузке сильно загруженных линий;

1)3) увеличении числа генерирующих узлов с заданным модулем напря-жения (узлы ФМ) и широким диапазоном изменения реактивной мощности;

1)4) увеличение числа контуров в сети;

1)5) увеличение числа связей БП с остальными узлами;

Т.е. улучшение режима работы электрической сети – разгрузка ЛЭП, повы-шение уровней напряжений и т.д. – улучшает сходимость итерационного процесса. И наоборот – утяжеление режима, приводит к ухудшению сходи-мости и развалу итерационного процесса. Т.о. рассчитываемый режим рабо-ты электрической сети влияет на характеристики итерационного процесса.

 

Сходимость метода Зейделя для СНАУ установившегося режима до-вольно медленная (для сети 100-200 узлов требуется около 300-500 итера-ций).

Сходимость может быть улучшена с помощью коэффициентов ускоре-ния (метод неполной релаксации).

Пусть - значения переменной x на итерациях. Тогда (к+1)- е приближение можно определить по формуле:

(10)

где - коэффициент ускорения;

приближения, вычисленные без учета и с учетом .

При .

Значения коэффициента выбирается в зависимости от характера сходимости итерационного процесса. Если сходимость монотонная, то:

 

>0 (11)

 

Если сходимость монотонная, то принимают >1. Использование ускоряющего коэффициента на каждой итерации позволяет приблизить очередное значение к точному решению. Этим ускоряется сходимость.

 

 

Если характер сходимости колебательный, то выражение (11) будет меньше нуля и значение коэффициента принимают <1.

 

 

В этом случае коэффициент является демпфирующим – он позволяет уменьшить ам-плитуду отклонений приближений и умень-шить количество итераций.

 

Возможные причины отказа сходимости итерационного процесса

 

1. Не правильное задание исходных данных (параметры схемы, задан-ные параметры режима)

2. Заданные значения нагрузок и генерации превышает пропускную спо-собность элементов сети, либо всей сети в целом.

 

Для того, чтобы убедиться, что итерационный процесс расходится из-за ошибок в исходных данных, нужно провести инженерный анализ соотноше-ний сопротивлений и нагрузок, значений напряжений.

 

Пример:

Для заданной схемы записать систе-му уравнений установившегося режима (баланс токов) в форме, обеспечивающей решение её методом Зейделя.

Запишем для заданной схемы уравне-ния установившегося режима в форме ба-ланса токов вида:

:

Так как балансирующий узел (0) связан только с 1-й узлом, то перено-сим соответствующий элемент 1-го уравнения в правую часть:

 

Данную систему преобразовываем в соответствии с формулой (5), т.е. решаем каждое уравнение относительно одной из неизвестных и записываем в итерационной форме в соответствии алгоритмом метода Зейделя: