Примеры решения задач. Пример 1.Определить напряженность и потенциал поля бесконечной плоскости, равномерно заряженной с поверхностной плотностью заряда s
Пример 1. Определить напряженность и потенциал поля бесконечной плоскости, равномерно заряженной с поверхностной плотностью заряда s. Диэлектрическая проницаемость окружающей среды e. Из симметрии задачи ясно, что линии напряженности электрического поля должны быть параллельными прямыми, перпендикулярными заряженной поверхности, как показано на ри Выберем замкнутую поверхность в виде прямого цилиндра длиной l с площадью основания S, как показано на рисунке. В силу однородности поля напряженности на нижнем и верхнем основаниях цилиндра одинаковы по величине и совпадают по направлению с положительными нормалями к этим поверхностям. Кроме того, учтем, что поток вектора напряженности через боковую поверхность отсутствует. Поэтому
Полный заряд в объеме, ограниченном цилиндрической поверхностью, равен q = sS. Тогда Потенциал поля плоскости В полученном выражении С – постоянная интегрирования, а ось Ох перпендикулярна плоскости. Принимая потенциал на поверхности плоскости равным нулю, получаем С = 0. Окончательно
Пример 2. Определить напряженность и потенциал электрического поля бесконечной нити, равномерно заряженной с линейной плотностью заряда t. Диэлектрическая проницаемость окружающей среды e.
Т.к. в каждой точке боковой поверхности цилиндра направление
Полный заряд, заключенный в объеме цилиндра, q = tl. Тогда получаем
Отсюда Потенциал поля нити
глее постоянная С определяется выбором точки нулевого потенциала
Пример 3. Шар радиуса R со сферической полостью радиуса а в центре заряжен с плотностью заряда, изменяющейся по линейному закону r = a(r – а), где a - постоянная величина, а r – расстояние от центра шара. Определить напряженность и потенциал электрического поля шара. Диэлектрическую проницаемость шара и окружающей среды принять равными 1. Из сферической симметрии задачи следует, что напряженность электрического поля зависит только от расстояния r от центра шара, т.е. E = E(r), а линии вектора Рассмотрим поток вектора напряженности электрического поля через сферическую поверхность r < a. Т.к. в объеме полости заряд отсутствует, то поток вектора напряженности электрического поля через сферическую поверхность r < a равен 0, и, следовательно, электрическое поле в полости отсутствует. Пусть радиус поверхности, через которую рассчитывается поток вектора напряженности, удовлетворяет неравенству a < r < R. Тогда поток вектора напряженности N = С другой стороны этот поток с точностью до e0 равен заряду, заключенному в объеме сферического слоя, ограниченного сферами радиусов а и r:
Таким образом,
Рассмотрим поток вектора напряженности электрического поля через поверхность сферы r > R. Здесь, по-прежнему, N =
Поэтому Вычислим потенциал шара. Т.к. причем С1 – постоянная. В области a < r < R
В области r > R
В случае ограниченного в пространстве заряда, как это имеет место в данной задаче, удобно принять равным нулю потенциал бесконечно удаленной точки. Тогда С3 = 0. Кроме того, из непрерывности потенциала на границах следует: j1(a) = j2(a) и j2(R) = j3(R). Подстановка соответствующих значений r в записанные равенства дает:
Решая полученную систему уравнений относительно С1 и С2, окончательно получаем:
|