Принцип неопределенности в теории оптического сигнала

Наблюдаемые физические процессы в оптике часто отождествляются с аналитическими сигналами, что позволяет применять для их описания и анализа развитый математический аппарат теории сигналов. В рамках этой теории принцип неопределенности приобретает смысл закономерности, связывающей локализации сигнала в координатном и частотном пространствах.

Пусть s₁(t) и s₂(t) - зависящие от времени комплексные сигналы. Для них справедливо неравенство Шварца:

С учетом определения скалярного произведения сигналов неравенство Шварца можно записать:

Пусть . В этом случае:

Левая часть неравенства, в случае , что справедливо для реальных физических сигналов, равна квадрату энергии сигнала:

Таким образом:

Если s(ω) - спектральная плотность сигнала s(t), то и . Согласно равенству Парсеваля: , и неравенство примет вид:

Протяженности сигнала во временном и частотном пространствах, по определению:

Подставляя в неравенство и извлекая квадратный корень, получим соотношение неопределенности для сигнала в окончательном виде:

(5.1)

Если речь идет об оптическом сигнале, то умножением неравенства (4.1) на постоянную Планка η получается классическое соотношение неопределенности Гейзенберга для энергии и времени ΔE⋅Δt ≥ η/ 2, так как ΔE = ηΔω.

Если же одновременно умножить и поделить (5.1) на фазовую скорость света v = c / n, то получится: . Так как vΔt = Δx и , то получается другая классическая форма соотношения неопределенности для координаты и импульса фотона:

.

В случае пространственного двумерного оптического сигнала s(x, y), спектр которого s(u,v) и энергия , аналогично с помощью неравенства Шварца выводятся соотношения: .

Перемножая их, получаем общее соотношение: . Если же сигнал зависит также и от времени: s(x, y;t), то его спектр зависит от частоты: s(u,v;ω), и соответственно, полное соотношение неопределенности:

.

При необходимости учета состояния поляризации сигнала, которая имеет две ортогональные составляющие, левая часть соотношения умножается на 2:

.

Особую важность данные соотношения приобретают в связи с задачей о передаче и преобразовании информации, носителем которой выступает сигнал с ограниченным спектром. Центральное место в теории подобных сигналов занимает следующая теорема (в формулировке Котельникова): сигнал s(t), спектр которого s(ω) ограничен частотами ±Ω, может быть восстановлен полностью и без искажений по известным дискретным отсчетам данного сигнала s(t_n), взятым во временных точках , расположенных через равные интервалы времени , то есть, может быть представлен в виде ряда:

На практике частота 1/Δt обычно называется частотой дискретизации сигнала, а круговая частота ν_max = Ω/2π - несущей частотой. Таким образом, частота дискретизации оказывается равна 2ν_max, т.е. удвоенной несущей частоте.

Если отождествить протяженности сигнала во временном и частотном пространстве, входящие в соотношение неопределенности (5.1), с интервалом и частотой дискретизации, входящими в формулировку теоремы Котельникова, то можно сформулировать принципиально важное понятие информационной емкости спектрально-ограниченного сигнала.

Спектрально-ограниченный сигнал можно представить графически в виде области существования – прямоугольника на плоскости ωt, ограниченного предельной частотой Ω и временем T (возможен вариант T →∞ или Ω→∞) (рис. 5.1). Данный прямоугольник разбивается на элементарные ячейки, площадь которых ΔtΔω, в соответствии с соотношением неопределенности, не может быть меньше 1/ 2. В соответствии с теоремой Котельникова и из соображения удобства, принято разбивать область существования сигнала на ячейки единичной площади: ΔtΔω = 1 (ячейки Габора). По определению, информационная емкость, или число информационных степеней свободы сигнала N равно числу элементарных ячеек в его области существования плюс единица:

Для пространственного оптического сигнала – область существования представляет собой шестимерный параллелепипед, но принцип разбиения на элементарные ячейки и подсчета информационной емкости такой же, как и для чисто временного сигнала: площадь ячейки равна Δx⋅Δy⋅Δξ⋅Δη⋅Δt⋅Δω=1, и число степеней свободы:

, или, с учетом поляризации, .

Рис. 5.1 Область существования сигнала с ограниченным спектром

Таким образом, соотношение неопределенности, утверждающее, что частота и интервал дискретизации сигнала не могут быть одновременно сколь угодно малыми, накладывает физическое ограничение на информационную емкость сигнала.