Студопедия — Равномерная сходимость
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Равномерная сходимость






Рассмотрим функциональный ряд, сходящийся в некоторой области. Обозначим сумму ряда через , тогда для всех из области сходимости имеем

(1)

Говорят, что ряд сходится к функции (а также, что ряд определяет, или выражает, или представляет функцию ).

Определение. Сходящийся функциональный ряд (1) называется равномерно сходящимся в некоторой области, если каждому сколь угодно малому числу соответствует такое целое положительное число , что -ый остаток при остается по абсолютной величине меньше , каково бы ни было в указанной области.

Если ряд сходится в интервале равномерно, то функцию – сумму ряда – можно приближенно представить при помощи одной и той же частичной суммы ряда

с одной и той же точностью во всех точках рассматриваемого интервала; эта точность характеризуется неравенством , справедливым при любом рассматриваемом , причем подбирается по заданному заранее .

Теорема. Сумма равномерно сходящегося в некоторой области ряда, составленного из непрерывных функций, есть функция, непрерывная в этой области.

Признак Вейерштрасса (достаточный признак равномерной сходимости). Пусть …, … – положительные числа. Если

а) в некоторой области …, ;

б) числовой ряд сходится,

то функциональный ряд в этой области сходится равномерно (и абсолютно).

Пример. Функциональный ряд

сходится равномерно для всех действительных , потому что при всех и

,

и обобщенный гармонический ряд с показателем сходится. ●

Как мы знаем, сумму конечного числа функций можно почленно дифференцировать и интегрировать. Эти свойства не всегда выполняются, если число слагаемых бесконечно, т.е. для рядов. Однако эти свойства сохраняются для равномерно сходящихся на сегменте функциональных рядов.

Теорема 1. Если члены равномерно сходящегося на сегменте функционального ряда непрерывны на этом сегменте, то ряд можно почленно интегрировать.

Это значит, что если и любые две точки сегмента , то

+ + … + …

Теорема 2. Пусть ряд составлен из функций, обладающих непрерывными производными. Если ряд, составленный из производных от членов данного ряда, равномерно сходится в некоторой области, то его сумма есть производная от суммы данного ряда в этой области.

Итак, применимость действий анализа к бесконечному функциональному ряду обеспечивается свойством равномерной сходимости ряда.

Применимость арифметических действий к бесконечному ряду обеспечивается свойством абсолютной сходимости ряда

Теорема 3. Если равномерно сходящийся на сегменте ряд умножить на ограниченную функцию , то полученный ряд

будет равномерно сходящимся на сегменте .







Дата добавления: 2015-10-18; просмотров: 561. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...

Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Типовые примеры и методы их решения. Пример 2.5.1. На вклад начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно Пример 2.5.1. На вклад начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка...

Выработка навыка зеркального письма (динамический стереотип) Цель работы: Проследить особенности образования любого навыка (динамического стереотипа) на примере выработки навыка зеркального письма...

Словарная работа в детском саду Словарная работа в детском саду — это планомерное расширение активного словаря детей за счет незнакомых или трудных слов, которое идет одновременно с ознакомлением с окружающей действительностью, воспитанием правильного отношения к окружающему...

Основные симптомы при заболеваниях органов кровообращения При болезнях органов кровообращения больные могут предъявлять различные жалобы: боли в области сердца и за грудиной, одышка, сердцебиение, перебои в сердце, удушье, отеки, цианоз головная боль, увеличение печени, слабость...

Вопрос 1. Коллективные средства защиты: вентиляция, освещение, защита от шума и вибрации Коллективные средства защиты: вентиляция, освещение, защита от шума и вибрации К коллективным средствам защиты относятся: вентиляция, отопление, освещение, защита от шума и вибрации...

Задержки и неисправности пистолета Макарова 1.Что может произойти при стрельбе из пистолета, если загрязнятся пазы на рамке...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия