Остаток ряда и его оценка
Рассмотрим сходящийся ряд (1) Его сумма , где . Определение. Разность между суммой ряда и его -ой частичной суммой называется -ым остатком сходящегося ряда. Остаток ряда обозначается : Абсолютная погрешность при замене суммы ряда его частичной суммой равна модулю остатка ряда: . Таким образом, если требуется найти суму ряда с точностью до , то надо взять сумму такого числа первых членов ряда, чтобы выполнялось неравенство . Теорема. Если знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница, то его -ый остаток по абсолютной величине не превосходит первого из отброшенных членов: . Пример. Найти с точностью до 10-3 сумму ряда . Ряд сходится, т. к. удовлетворяет всем условиям признака Лейбница. По правилу оценки погрешности вычисления надо взять столько членов, чтобы выполнялось неравенство . Тогда остаток ряда, начинающийся с этого члена, будет также меньше 10-3. Следовательно, решаем неравенство: . Это неравенство удовлетворяется уже при : . Следовательно, начиная с члена , можно отбросить все члены ряда и вычислить только первыепять членов ряда. .● Глава 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Основные понятия Определение. Выражение ,(1) называется функциональным рядом относительно переменной х. Придавая какое-либо значение из области определения функций , получим числовой ряд (2) Этот ряд может сходиться или расходиться. Если он сходится, то точка называется точкой сходимости функционального ряда (1). Для одних точек, взятых из области определения функций , ряд может сходиться, а для других – расходиться. Определение. Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется областью его сходимости. Частичная сумма функционального ряда, т.е. сумма первых его членов (3) является функцией переменной . Каждому значению из области сходимости соответствует определенное значение величины . Эту величину обозначают через и называют суммой функционального ряда. Итак, сумма функционального ряда есть некоторая функция переменной , определенная в области сходимости ряда. В этом случае пишут Если функциональный ряд сходится и имеет сумму , то, как и для числовых рядов величина называется остатком функционального ряда. В простейших случаях для определения области сходимости ряда (1) достаточно применить к этому ряду известные признаки сходимости положительных рядов, считая фиксированным и заменяя исходный исследуемый ряд (1) рядом из его абсолютных величин. Пример 1. Найти область сходимости ряда . Решение. Если , то ; так как , то ряд расходится. Если , то также получаем расходящийся ряд . Если , то члены заданного ряда меньше членов геометрического ряда со знаменателем , т.е. ряд сходится. Итак, область сходимости ряда определяется неравенством . Отсюда следует, что ряд сходится, если или .●
|