Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Ряды и коэффициенты Фурье





Многие процессы, происходящие в природе и технике, обладают свойством повторяться через определенные промежутки времени. Такие процессы называются периодическими. Примерами периодических процессов могут служить движение поршня в двигателях, распространение электромагнитных колебаний и т.п. Периодические процессы описываются периодическими функциями. Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции и . В электромеханике и электротехнике часто встречаются периодические несинусоидальные функции. Они могут описывать как механические колебания, так и электрические величины, например, пилообразные или в форме трапеции напряжения и токи. Для удобства работы эти функции можно разложить в тригонометрические ряды, т.е. представить их в виде суммы синусов, косинусов и свободного члена.

Тригонометрические ряды были введены Бернулли (швейцарец, математик и механик, один из основоположников гидродинамики) в 1753 г. в связи с изучением колебаний струны.

Формулы, выражающие коэффициенты ряда через данную функцию, были даны французским математиком Клеро в 1757 г., но не привлекли к себе внимания. Эйлер вновь получил эти формулы в 1777 г. (в работе, опубликованной после смерти Эйлера в 1793 г.). Строгий их вывод был намечен Фурье в 1823 г. Фурье систематически пользовался тригонометрическими рядами при изучении задач теплопроводности.

Итак, простейший периодический процесс – гармоническое колебание – описывается периодическими функциями и . Более сложные периодические процессы описываются функциями, составленными либо из конечного, либо из бесконечного числа слагаемых вида и .

Рассмотрим функциональный ряд вида

(1)

Такой ряд называется тригонометрическим рядом.

Так как члены тригонометрического ряда (1) имеют общий период , то и сумма ряда, если он сходится, будет также периодической функцией с периодом .

Если периодическая функция является суммой равномерно сходящегося на сегменте тригонометрического ряда (1), то коэффициенты этого ряда определяются по формулам:

, , .

Коэффициенты ряда, определенные по этим формулам, называются коэффициентами Эйлера-Фурье.

Определение. Тригонометрический ряд

,

коэффициенты которого определяются по формулам Эйлера-Фурье, называется рядом Фурье, соответствующим функции .

Теорема Дирихле. Если функция задана на сегменте и является на нем кусочно непрерывной, кусочно монотонной и ограниченной, то ее тригонометрический ряд Фурье сходится во всех точках сегмента . Если – сумма этого ряда, то во всех точках непрерывности этой функции

= ,







Дата добавления: 2015-10-18; просмотров: 586. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Оценка качества Анализ документации. Имеющийся рецепт, паспорт письменного контроля и номер лекарственной формы соответствуют друг другу. Ингредиенты совместимы, расчеты сделаны верно, паспорт письменного контроля выписан верно. Правильность упаковки и оформления....

БИОХИМИЯ ТКАНЕЙ ЗУБА В составе зуба выделяют минерализованные и неминерализованные ткани...

Типология суицида. Феномен суицида (самоубийство или попытка самоубийства) чаще всего связывается с представлением о психологическом кризисе личности...

Экспертная оценка как метод психологического исследования Экспертная оценка – диагностический метод измерения, с помощью которого качественные особенности психических явлений получают свое числовое выражение в форме количественных оценок...

В теории государства и права выделяют два пути возникновения государства: восточный и западный Восточный путь возникновения государства представляет собой плавный переход, перерастание первобытного общества в государство...

Закон Гука при растяжении и сжатии   Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука в 1678 году...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия