Простейшие свойства сходящихся рядов

Теорема 1. Если ряд сходится и имеет сумму S, то ряд (где с – некоторая постоянная) также сходится и имеет сумму cS.

Итак, если все члены данного сходящегося ряда умножить на одно и тоже число с, то сходимость этого ряда не нарушится, а сумма его умножится на то же число.

Таким образом, сходящиеся ряды подчиняются, подобно конечным суммам, дистрибутивному закону умножения – в сходящемся ряде можно выносить за скобки общий множитель всех членов ряда.

Теорема 2. Если ряды (1) и (2) сходятся и имеют соответственно суммы S и s, то ряды (3) и (4) также сходятся и их суммы соотвественно равны S + s и S – s.

Пример. Найдем сумму ряда .

Решение. По теореме 2:

.●

Таким образом: 1) сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать так же, как и конечные суммы; 2) можно умножать члены сходящегося ряда на одно и тоже постоянное число, в результате получаются также сходящиеся ряды.

Замечание 1. Если ряды (1) и (2) оба расходятся, то о рядах (3) и (4) в общем случае ничего сказать нельзя. Они могут оказаться как сходящимися, так и расходящимися.

Рассмотрим два ряда

(5)

и

(6)

Теорема 3. Если сходится данный ряд (5), то сходится и ряд (6),полученный из ряда (5) отбрасыванием конечного числа k его первых членов. Обратно, если сходится ряд (6), то сходится и данный ряд (5).

Теорему 3 можно сформулировать следующим образом:.

На сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.

Поэтому для установления сходимости ряда не обязательно учитывать все его члены. достаточно ограничиться членами, «начиная с некоторого места» или «начиная с некоторого номера п».