Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Ряды Фурье для четных и нечетных функций





В некоторых случаях формулы для вычисления коэффициентов Фурье могут быть упрощены. Это имеет место для четных и нечетных функций.

Приведем несколько очевидных свойств четных и нечетных функций.

I. Произведение четной функции на четную или нечетной на нечетную есть функция четная.

II. Произведение четной функции на нечетную есть функция нечетная

III. Если – четная функция, то .

IV. Если – нечетная функция, то .

Допустим, что нужно разложить в ряд Фурье четную функцию .

Так как – функция четная, а – функция нечетная, то произведение будет функцией четной, а – функцией нечетной (свойства I и II). На основании свойств III и IV получим

,

,

.

Соответственно этому ряд Фурье для четной функции будет иметь вид

.

Если требуется разложить в ряд Фурье нечетную функцию, то вследствие свойств I и II произведение будет функцией нечетной, а – функцией четной. Поэтому

,

.

Ряд Фурье для нечетной функции будет иметь вид

.

Таким образом, четная функция разлагается в ряд только по косинусам, а нечетная функция – только по синусам кратных дуг.

§3. Разложение в ряд Фурье периодических функций

Пусть функция , удовлетворяющая условиям Дирихле, имеет период , т.е. .

В случае функции , имеющей период , коэффициенты Эйлера-Фурье вычисляются по формулам:

, , (2)

(8)

В точках разрыва функции и в концах интервала сумма ряда Фурье определяется аналогично тому, как это имеет место при разложении в интервале .

В случае разложения функции в ряд Фурье в произвольном интервале длины пределы интегрирования в формулах (2) следует заменить соответственно на и .

Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 2, заданную на отрезке уравнением .

Решение. Рассматриваемая функция является четной. Ее график – дуга параболы, заключенная между точками и .

Так как – четная функция, то и будет четной функцией. Здесь , поэтому

,

.

Интегрируя дважды по частям, получим.

1) .

.

2) .

.

Так как рассматриваемая функция – четная, то . Следовательно,

.●

Если функция задана на отрезке , то для разложения в ряд Фурье достаточно доопределить ее на отрезке произвольным способом, а затем разложить в ряд Фурье, считая ее заданной на сегменте . Наиболее целесообразно функцию доопределить так, чтобы ее значения в точках сегмента находилась из условия или . В первом случае функция на сегменте будет четной, а во втором – нечетной. При этом часто говорят, что функция в интервале разложена в ряд Фурье по синусам или косинусам кратных дуг.

Пример. Разложить функцию , заданную на полупериоде , в ряд по синусам.

Решение. Для разложения функции в ряд по синусам надо ее продолжить на интервал нечетным образом, затем продолжить полученную функцию периодически на всю числовую ось.

;

Здесь надо принять l = 1 и = 1. Тогда

Итак, ряд Фурье для данной функции имеет вид

.●







Дата добавления: 2015-10-18; просмотров: 1539. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Конституционно-правовые нормы, их особенности и виды Характеристика отрасли права немыслима без уяснения особенностей составляющих ее норм...

Толкование Конституции Российской Федерации: виды, способы, юридическое значение Толкование права – это специальный вид юридической деятельности по раскрытию смыслового содержания правовых норм, необходимый в процессе как законотворчества, так и реализации права...

Значення творчості Г.Сковороди для розвитку української культури Важливий внесок в історію всієї духовної культури українського народу та її барокової літературно-філософської традиції зробив, зокрема, Григорій Савич Сковорода (1722—1794 pp...

Ганглиоблокаторы. Классификация. Механизм действия. Фармакодинамика. Применение.Побочные эфффекты Никотинчувствительные холинорецепторы (н-холинорецепторы) в основном локализованы на постсинаптических мембранах в синапсах скелетной мускулатуры...

Шов первичный, первично отсроченный, вторичный (показания) В зависимости от времени и условий наложения выделяют швы: 1) первичные...

Предпосылки, условия и движущие силы психического развития Предпосылки –это факторы. Факторы психического развития –это ведущие детерминанты развития чел. К ним относят: среду...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия