Ряды Фурье для четных и нечетных функций
В некоторых случаях формулы для вычисления коэффициентов Фурье могут быть упрощены. Это имеет место для четных и нечетных функций. Приведем несколько очевидных свойств четных и нечетных функций. I. Произведение четной функции на четную или нечетной на нечетную есть функция четная. II. Произведение четной функции на нечетную есть функция нечетная III. Если – четная функция, то . IV. Если – нечетная функция, то . Допустим, что нужно разложить в ряд Фурье четную функцию . Так как – функция четная, а – функция нечетная, то произведение будет функцией четной, а – функцией нечетной (свойства I и II). На основании свойств III и IV получим , , . Соответственно этому ряд Фурье для четной функции будет иметь вид . Если требуется разложить в ряд Фурье нечетную функцию, то вследствие свойств I и II произведение будет функцией нечетной, а – функцией четной. Поэтому , . Ряд Фурье для нечетной функции будет иметь вид . Таким образом, четная функция разлагается в ряд только по косинусам, а нечетная функция – только по синусам кратных дуг. §3. Разложение в ряд Фурье периодических функций Пусть функция , удовлетворяющая условиям Дирихле, имеет период , т.е. . В случае функции , имеющей период , коэффициенты Эйлера-Фурье вычисляются по формулам: , , (2) (8) В точках разрыва функции и в концах интервала сумма ряда Фурье определяется аналогично тому, как это имеет место при разложении в интервале . В случае разложения функции в ряд Фурье в произвольном интервале длины пределы интегрирования в формулах (2) следует заменить соответственно на и . Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 2, заданную на отрезке уравнением . Решение. Рассматриваемая функция является четной. Ее график – дуга параболы, заключенная между точками и . Так как – четная функция, то и будет четной функцией. Здесь , поэтому , . Интегрируя дважды по частям, получим. 1) . . 2) . . Так как рассматриваемая функция – четная, то . Следовательно, .● Если функция задана на отрезке , то для разложения в ряд Фурье достаточно доопределить ее на отрезке произвольным способом, а затем разложить в ряд Фурье, считая ее заданной на сегменте . Наиболее целесообразно функцию доопределить так, чтобы ее значения в точках сегмента находилась из условия или . В первом случае функция на сегменте будет четной, а во втором – нечетной. При этом часто говорят, что функция в интервале разложена в ряд Фурье по синусам или косинусам кратных дуг. Пример. Разложить функцию , заданную на полупериоде , в ряд по синусам. Решение. Для разложения функции в ряд по синусам надо ее продолжить на интервал нечетным образом, затем продолжить полученную функцию периодически на всю числовую ось. ; Здесь надо принять l = 1 и = 1. Тогда Итак, ряд Фурье для данной функции имеет вид .●
|