Знакочередующиеся ряды. Знакопеременным рядом называется ряд, членами которого являются действительные числа произвольного знака

Знакопеременным рядом называется ряд, членами которого являются действительные числа произвольного знака. Ряд, в котором за каждым положительным членом следует отрицательный и за каждым отрицательным членом следует положительный, называют знакочередующимся.

Обозначим – абсолютные величины членов ряда. Будем считать, что первый член ряда положителен. Тогда знакочередующийся ряд можно записать в виде:

(1)

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости Лейбница.

Теорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям: 1) , 2_ , то ряд сходится и его сумма .

Или: если в знакочередующемся ряде абсолютные величины членов убывают, и общий член ряда стремится к нулю, то ряд сходится, и его сумма не превосходит членов ряда.

Пример. Исследуем, сходится или расходится ряд

Решение. Этот ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница:

1) ,

2) .

Следовательно, ряд сходится.●

Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда

Рассмотрим общий случай знакопеременного ряда

,

где числа могут быть как положительными, так и отрицательными.

Для таких рядов имеет место общий достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.

Теорема. Если для знакопеременного ряда