Система линейных однородны уравнений. Теорема о ненулевых решениях таких систем (доказать).

Запишем однородную систему линейных уравнений.
РИС. 7.1
Однородная система всегда совместна, так как всегда имеется тривиальное (нулевое) решение.

Согласно общей теории, если r(A)=n, то единственным является тривиальное (нулевое) решение. Если же r(A)<n, то решений бесконечно много, и все они, кроме одного, нетривиальные (ненулевые).

Теорема 7.1 (о нетривиальных (ненулевых) решениях однородной системы)

Однородная линейная система с квадратной матрицей имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю.

Доказательство:

По теореме Крамера det(A) ≠ 0 тогда и только тогда, когда система с квадратной матрицей имеет единственное решение (т.е. векторы – столбцы системы (7.1) – линейно зависимы). В случае если задана система линейных однородных уравнений, это решение – тривиальное (0,0,…0). Значит, нетривиальные решения имеются тогда и только тогда, когда det(A)=0 (т.е. решений системы бесконечное множество).
Любое решение СЛОУ выражается в виде линейной комбинации (n-r)

векторов (если r(A)=r):
…, РИС. 7.2
Покажем, что вектора q_r+1,...,q_n – линейно независимы. Для этого составим матрицу Г из их координат:

Ниже черты расположен минор порядка (n-r), отличный от нуля, следовательно r(Г)= (n-r),следовательно (n-r) столбцов матрицы Г линейно независимы.

Следовательно, вектора q_r+1,...,q_n – линейно независимы, т.е. эти вектора образуют базис подпространства.
Определение 7.1

Всякая линейно независимая система (n-r) решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений.