Геометрический смысл смешанного произведения

Геометрический смысл смешанного произведения: если 4_4.php"тройка векторов правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах: . В случае левой тройки смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус: . Если , и компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и равен модулю смешанного произведения этих векторов:

 

Свойства смешанного произведения:

1°

2°

3° Три 4_0.php"вектора компланарны тогда и только тогда, когда

4° Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы , и образуют левую тройку векторов.

5°

6°

7°

8°

9°

10° Тождество Якоби:

Если векторы , и заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле

Объем параллелепипеда определяется по формуле , где — угол между векторами и , а — угол между вектором и перпендикуляром к плоскости, в которой лежат и .

Пусть координаты векторов . В ортонормированном базисе

Рассмотрим выражение . Это выражение называют определителем трехмерной матрицы и обозначают .

В этих обозначениях векторное произведение можно записать в виде .

Можно показать, что аналогично плоскому случаю знак совпадает с ориентацией тройки .