Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теорема (Кронекера–Капелли).





Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу её расширенной матрицы:

Для совместной системы линейных уравнений вопрос о её определённости или неопределённости решается с применением следующих теорем.

Теорема 1 Если ранг основной матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система является определённой

Теорема 2 Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система является неопределённой.

Таким образом, из сформулированных теорем вытекает способ исследования систем линейных алгебраических уравнений. Пусть n – количество неизвестных, Тогда:

1) при система несовместна;

2) при система совместна, причём, если , система определённая; если же , система неопределённая.

Определение Базисным решением неопределённой системы линейных уравнений называют такое её решение, в котором все свободные неизвестные равны нулю.

Пример. Исследовать систему линейных уравнений

и в случае неопределённости системы найти её базисное решение.

Вычислим ранги основной и расширенной матриц данной системы уравнений, для чего приведём расширенную (а вместе с тем и основную) матрицу системы к ступенчатому виду:

Вторую строку матрицы сложим с её первой строкой, умноженной на третью строку – с первой строкой, умноженной на а четвёртую строку – с первой, умноженной на получим матрицу

К третьей строке этой матрицы прибавим вторую строку, умноженную на а к четвёртой строке – первую, умноженную на Врезультате получим матрицу

удаляя из которой третью и четвёртую строки получим ступенчатую матрицу

Таким образом, Следовательно, данная система линейных уравнений совместна, а поскольку величина ранга меньше числа неизвестных, система является неопределённой. Полученной в результате элементарных преобразований ступенчатой матрице соответствует система уравнений

Неизвестные и являются главными, а неизвестные и свободными. Придавая свободным неизвестным нулевые значения, получим базисное решение данной системы линейных уравнений:

Думаю с этим все понятно.


 

Билет

1. Вектор. Понятия

Ответ: в геометрическом смысле вектор — это направленный отрезок, обычно определяемый точками своего начала и конца. Так или иначе вектором - называется отрезок, имеющий определенную длину и направление

Основные понятия

1) Модулем вектора |a| в геометрии называется его длина

2) Коллинеарными называются такие вектора, векторное произведение которых равно нулю. Это параллельные вектора. Коллинеарные вектора могут быть сонаправленными или встречными, то есть направленными строго в противоположные стороны.

3) Ортогональными (перпендикулярными) называются такие вектора, скалярное произведение которых равно нулю. Для любого вектора все вектора, лежащие в любой перпендикулярной ему плоскости, будут ортогональны.

Нулевым является вектор, имеющий нулевую длину, то есть тот, у которого координаты начала и конца строго совпадают. В связи с этим обычно нельзя говорить о направлении такого вектора, поэтому его считают не имеющим направления.

5) Компланарными называются вектора, которые приведены к одному началу и лежат в одной плоскости. Если хотя бы один из 3 векторов – нулевой, то три вектора тоже компланарны.

6) Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

7) Косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, поделенному на произведение модулей векторов.

2. Сумма векторов и произведение вектора на число.

Ответ: начнем с простого, чтобы сложить два вектора, достаточно сложить каждую из его координат. Т.е. если есть два вектора с координатами: a (x y z) u b (x1 y1 z1) то их суммой будет:

(x+x1;y+y1;z+z1). С этим ясно, умножение вектора на число тоже довольно просто. Если есть вектор a(x y z) и число b=4, то просто домножаем КАЖДУЮ координату на это число.

3. Условие коллинеарности векторов:

Ответ:

1) Два вектора коллинеарны, если их отношения равны

2) Два вектора коллинеарны, если их векторное пр-е равно нулю.

Пример внизу.

4. Свойства линейных операций над векторами

Сложение векторов коммутативно: .

Сложение векторов ассоциативно: .

Прибавление нулевого вектора к любому не меняет последнего: .

Для любого вектора существует вектор такой, что или .

Умножение вектора на число ассоциативно: . Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел: .

Дистрибутивность умножения векторов относительно сложения

Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения векторов: .

Очевидно, умножение на единицу не меняет вектор: .


 







Дата добавления: 2015-12-04; просмотров: 217. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...


Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...


Логические цифровые микросхемы Более сложные элементы цифровой схемотехники (триггеры, мультиплексоры, декодеры и т.д.) не имеют...

Тактика действий нарядов полиции по предупреждению и пресечению правонарушений при проведении массовых мероприятий К особенностям проведения массовых мероприятий и факторам, влияющим на охрану общественного порядка и обеспечение общественной безопасности, можно отнести значительное количество субъектов, принимающих участие в их подготовке и проведении...

Тактические действия нарядов полиции по предупреждению и пресечению групповых нарушений общественного порядка и массовых беспорядков В целях предупреждения разрастания групповых нарушений общественного порядка (далееГНОП) в массовые беспорядки подразделения (наряды) полиции осуществляют следующие мероприятия...

Механизм действия гормонов а) Цитозольный механизм действия гормонов. По цитозольному механизму действуют гормоны 1 группы...

Основные симптомы при заболеваниях органов кровообращения При болезнях органов кровообращения больные могут предъявлять различные жалобы: боли в области сердца и за грудиной, одышка, сердцебиение, перебои в сердце, удушье, отеки, цианоз головная боль, увеличение печени, слабость...

Вопрос 1. Коллективные средства защиты: вентиляция, освещение, защита от шума и вибрации Коллективные средства защиты: вентиляция, освещение, защита от шума и вибрации К коллективным средствам защиты относятся: вентиляция, отопление, освещение, защита от шума и вибрации...

Задержки и неисправности пистолета Макарова 1.Что может произойти при стрельбе из пистолета, если загрязнятся пазы на рамке...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия