Теорема (Кронекера–Капелли).
Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу её расширенной матрицы: Для совместной системы линейных уравнений вопрос о её определённости или неопределённости решается с применением следующих теорем. Теорема 1 Если ранг основной матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система является определённой Теорема 2 Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система является неопределённой. Таким образом, из сформулированных теорем вытекает способ исследования систем линейных алгебраических уравнений. Пусть n – количество неизвестных, 1) при 2) при Определение Базисным решением неопределённой системы линейных уравнений называют такое её решение, в котором все свободные неизвестные равны нулю. Пример. Исследовать систему линейных уравнений и в случае неопределённости системы найти её базисное решение. Вычислим ранги основной Вторую строку матрицы сложим с её первой строкой, умноженной на К третьей строке этой матрицы прибавим вторую строку, умноженную на удаляя из которой третью и четвёртую строки получим ступенчатую матрицу Таким образом, Неизвестные Думаю с этим все понятно.
Билет 1. Вектор. Понятия Ответ: в геометрическом смысле вектор — это направленный отрезок, обычно определяемый точками своего начала и конца. Так или иначе вектором - называется отрезок, имеющий определенную длину и направление Основные понятия 1) Модулем вектора |a| в геометрии называется его длина 2) Коллинеарными называются такие вектора, векторное произведение которых равно нулю. Это параллельные вектора. Коллинеарные вектора могут быть сонаправленными или встречными, то есть направленными строго в противоположные стороны. 3) Ортогональными (перпендикулярными) называются такие вектора, скалярное произведение которых равно нулю. Для любого вектора все вектора, лежащие в любой перпендикулярной ему плоскости, будут ортогональны. Нулевым является вектор, имеющий нулевую длину, то есть тот, у которого координаты начала и конца строго совпадают. В связи с этим обычно нельзя говорить о направлении такого вектора, поэтому его считают не имеющим направления. 5) Компланарными называются вектора, которые приведены к одному началу и лежат в одной плоскости. Если хотя бы один из 3 векторов – нулевой, то три вектора тоже компланарны. 6) Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором. 7) Косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, поделенному на произведение модулей векторов. 2. Сумма векторов и произведение вектора на число. Ответ: начнем с простого, чтобы сложить два вектора, достаточно сложить каждую из его координат. Т.е. если есть два вектора с координатами: a (x y z) u b (x1 y1 z1) то их суммой будет: (x+x1;y+y1;z+z1). С этим ясно, умножение вектора на число тоже довольно просто. Если есть вектор a(x y z) и число b=4, то просто домножаем КАЖДУЮ координату на это число. 3. Условие коллинеарности векторов: Ответ: 1) Два вектора коллинеарны, если их отношения равны 2) Два вектора коллинеарны, если их векторное пр-е равно нулю. Пример внизу. 4. Свойства линейных операций над векторами Сложение векторов коммутативно: Сложение векторов ассоциативно: Прибавление нулевого вектора к любому не меняет последнего: Для любого вектора Умножение вектора на число ассоциативно: Дистрибутивность умножения векторов относительно сложения Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения векторов: Очевидно, умножение на единицу не меняет вектор:
|