Определители второго и третьего порядков. Примеры.

Определитель первого порядка равен тому единственному элементу, из которого состоит соответствующая матрица.

Определитель второго порядка вычислим, например, по элементам первой строки

Запишем разложение данного определителя по элементам второй строки

Полученный результат совпадает с результатом вычисления определителя по первой строке. Этот же результат получится и при разложении по любому из столбцов. Рекомендуем это проверить самостоятельно.

Из сказанного можно заключить, что определитель второго порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

Пример.

Найдем определитель третьего порядка, раскладывая его по элементам, например, третьего столбца

Пример.

Таким образом, вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка.

Получается, что определитель n - го порядка мы найдем через определители (n -1) - го порядка.

7. Вероятность. Классическая формула вычисления вероятности. Статистическая вероятность. Примеры с игральными костями и монетами.

Вероятность - одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим. Далее укажем слабые стороны этого определения и приведем другие определения, позволяющие преодолеть недостатки классического определения.

Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них - красные, 3 - синие и 1 - белый. Очевидно, возможность вынуть наудачу из урны цветной (т. е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается, можно. Это число и называют вероятностью события (появления цветного шара). Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.

Поставим перед собой задачу дать количественную оценку возможности того, что взятый наудачу шар цветной. Появление цветного шара будем рассматривать в качестве события А. Каждый из возможных результатов испытания (испытание состоит в извлечении шара из урны) назовем элементарным исходом (элементарным событием). Элементарные исходы обозначим через w1, w2, w3 и т.д. В нашем примере возможны следующие 6 элементарных исходов: w1 - появился белый шар; w2, w3 - появился красный шар; w4, w5, w6 - появился синий шар. Легко видеть, что эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и они равновозможны (шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны).

Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию. В нашем примере благоприятствуют событию A (появлению цветного шара) следующие 5 исходов: w2, w3, w4, w5, w6.

Таким образом, событие А наблюдается, если в испытании наступает один, безразлично какой, из элементарных исходов, благоприятствующих A; в нашем примере А наблюдается, если наступит w2, или w3, или w4, или w5, или w6. В этом смысле событие А подразделяется на несколько элементарных событий (w2, w3, w4, w5, w6); элементарное же событие не подразделяется на другие события. В этом состоит различие между событием А и элементарным событием (элементарным исходом).

Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу называют вероятностью события А и обозначают через Р (А). В рассматриваемом примере всего элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна Р (A) = 5 / 6. Это число и дает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара, которую мы хотели найти. Дадим теперь определение вероятности.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой

Р (A) = m / n,где m - число элементарных исходов, благоприятствующих A; n - число всех возможных элементарных исходов испытания.

Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

С в о й с т в о 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m = n, следовательно,

Р (A) = m / n = n / n = 1.

С в о й с т в о 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно,

Р (А) = m / n = 0 / n = 0.

С в о й с т в о 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно, 0 < Р (А) < 1

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0 <= Р (A) < 1.

Далее приведены теоремы, которые позволяют по известным вероятностям одних событий находить вероятности других событий.

З а м е ч а н и е. Современные строгие курсы теории вероятностей построены на теоретико-множественной основе. Ограничимся изложением на языке теории множеств тех понятий, которые рассмотрены выше.

Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из событий wi, (i = 1, 2,..., n). События wi, называют элементарными событиями (элементарными исходами). Уже отсюда следует, что элементарные события попарно несовместны. Множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытании, называют пространством элементарных событий W, а сами элементарные события - точками пространства W.

Событие А отождествляют с подмножеством (пространства W), элементы которого есть элементарные исходы, благоприятствующие А; событие В есть подмножество W, элементы которого есть исходы, благоприятствующие В, и т.д. Таким образом, множество всех событий, которые могут наступить в испытании, есть множество всех подмножеств W. Само W наступает при любом исходе испытания, поэтому W - достоверное событие; пустое подмножество пространства W - невозможное событие (оно не наступает ни при каком исходе испытания).

Заметим, что элементарные события выделяются из числа всех событий тем, что каждое из них содержит только один элемент W.

Каждому элементарному исходу wi, ставят в соответствие положительное число pi - вероятность этого исхода, причем

По определению, вероятность Р(А) события А равна сумме вероятностей элементарных исходов, благоприятствующих А. Отсюда легко получить, что вероятность события достоверного равна единице, невозможного - нулю, произвольного - заключена между нулем и единицей.

Рассмотрим важный частный случай, когда все исходы равновозможны. Число исходов равно n, сумма вероятностей всех исходов равна единице; следовательно, вероятность каждого исхода равна 1 / n. Пусть событию А благоприятствует m исходов. Вероятность события А равна сумме вероятностей исходов, благоприятствующих А: Р (А) = 1 / n + 1 / n +.. + 1 / n.

Учитывая, что число слагаемых равно m, имеем Р (А) = m / n.

Получено классическое определение вероятности.

Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятности. В системе аксиом, предложенной А. Н. Колмогоровым, неопре-деляемыми понятиями являются элементарное событие и вероятность. Приведем аксиомы, определяющие вероятность: 1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное действительное число Р (А). Это число называется вероятностью события А.

2. Вероятность достоверного события равна единице: P(W) = l.

3. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей и зависимости между ними выводят в качестве теорем.

Классическая формула для определения вероятности наступления случайного события X выглядит следующим образом:

где Nx — количество вариантов возможного наступления случайного события х;

N— общее количество возможных исходов. Пример. Бросая игральную кость, мы можем получить шесть возможных исходов — выпадение одной из шести граней игральной кости: 1,2,3, 4, 5 или 6. Таким образом, можно определить вероятность выпадения одной из граней, например 3:

Таким образом, вероятность выпадения одной из граней игральной кости (в нашем примере 3) составляет 16.67%.

Можно также определить вероятность выпадения одной из двух граней (например, 2 или 3). В этом случае используется правило сложения вероятностей, а вероятность рассчитывается следующим образом: Р(х8; By) = Р{х) + Р{у) = 0.1667 + 0.1667 = 0.3333 или 33.33%, где Р(х) — вероятность наступления случайного события х (в нашем примере 2);

Р(у) — вероятность наступления случайного события у (3).

Таким образом, вероятность выпадения грани с цифрой 2 или 3 равна 33.33%.

Правило сложения вероятностей используется для зависимых событий, когда одно случайное событие исключает наступление другого случайного события.

Если необходимо найти вероятность одновременного наступления двух и более случайных событий, используется правило умножения вероятностей. При этом все события должны быть независимы друг от друга.

Пример. В результате одновременного броска двух игральных костей мы можем получить 36 различных комбинаций: 1 — 1,1—2,1—3,1—4,1— 5, 1—6, 2—1, 2—2, 2—3 и т.д. Для определения вероятности того, что в результате подбрасывания мы получим на гранях обеих игральных костей по 1, используем правило умножения вероятностей:

Р(х8; 87) = Р{х)хР{у) = 0.1667x0.1667 = 0.0278 или 2.78%

Таким образом, вероятность одновременного выпадения на двух игральных костях граней с цифрой 1 равна 2.78%.

Статистическая вероятность

При статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.

где m - число испытаний, в которых событие A наступило, n - общее число произведённых испытаний.

Пример 2.1

В некотором районе зарегистрировано рождение с начала года 1248 младенцев, из них 645 мальчиков. Какова вероятность рождения мальчика в данном районе?

Решение

За вероятность принимаем относительную частоту рождения мальчиков. W = 645/1248 ≈ 0,517

Задача 1.

Игральная кость подбрасывается два раза. Какова вероятность того, что хотябы один раз появляется шестерка?

РЕШЕНИЕ

Результат двукратного подбрасывания кости можно описать множеством U строк u = u1u2 длины 2, составленных из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Число таких строк равно 62 = 36.Симметричность кости позволяет использовать модель Лапласа для n = 36 равновероятных исходов. Задача сводится к вычислению вероятности Р(С) события С, составленного из строк u = u1u2 для которых u1 = 6 или u2 = 6:

С = {61, 62, 63, 64, 65, 66,16, 26, 36, 46, 56}.

1. Имеем: P(C) = n(C)/n(U) = 11/36.

2. Дополнение А = С` события С состоит из строк u = u1u2 для которых u1 ≠ 6 или u2 ≠ 6. Число таких строк равно 52 = 25. Поэтому Р(С`) = Р(А) = 52/62 = (5/6)2.

По правилу дополнения Р(С) = Р(А’) = 1 - (5/6)2 = 11/36.

3. Событие С можно представить в виде объединения событий А = {61,62,63,64,65,66} и В = {16,26,36,46,56,66}, описывающих появление шестерки соответственно при первом и втором подбрасываниях.

Имеем: P(А) = 6/36, Р(B) = 6/36, Р(АВ) = Р ({66}) = 1/36.

По правилу объединения, P(С) = Р(A U В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 6/36 + 6/36 - 1/36 = 11/36.

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Итак, вероятность события - это отношение благоприятных исходов к общему количеству исходов. То есть, для нашего примера: чтобы найти вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков нужно разделить количество исходов при которых выпадает 8 очков на общее количество исходов. Всего возможно 36 вариантов исходов:

Первая игр. кость	Вторая игр. кость	Сумма очков

 

 

Первая кость	Вторая кость	Сумма очков

 

Благоприятные исходов 5 (первое число количество очков первой игральной кости, второе число количество очков второй игральной кости): 2 и 6, 3 и 5, 4 и 4, 5 и 3, 6 и 2.

Таким образом, вероятность, что в сумме выпадет 8 очков равна:P8=5/36≈0,14

Ответ к задаче, вероятность равна 0,14 или 14%.

Пример 2: В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Алгоритм решения задачи аналогичен алгоритму решению предыдущей задачи. Нужно определить сколько всего вариантов и сколько из них благоприятные варианты. Перечислим все варианты (О-выпал орел, Р-выпала решка):

А Б С Д

Первый бросок О Р О Р

Второй бросок О Р Р О

Итак, всего возможно 4 варианта. Благоприятных вариантов 2 - вариант С и Д (только в них Орел выпадает ровно один раз). Следовательно, вероятность того, что орел выпадет ровно один раз равна:

РО=2/4=0,5

Ответ к задаче, вероятность равна 0,5 или 50%.