Противоположные события и их вероятность. Полная группа событий и их вероятность. Примеры.

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать.

Пример 1. Попадание и промах при выстреле по цели — противоположные события. Если А — попадание, то противоположное событие — промах.

Пример 2. Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» — противоположные.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Доказательство базируется на том, что противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице (см. Теорему о полной группе событий).

З а м е ч а н и е 1. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через q. Таким образом, в силу предыдущей теоремы p + q = l

З а м е ч а н и е 2. При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность противоположного события, а затем найти искомую вероятность по формуле

Полная группа событий.

Теорема. Сумма вероятностей событий А1, А2,..., Аn, образующих полную группу, равна единице: Р (A1) + Р (А2) +... + Р (Аn) = 1.

Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то Р (A1 + A2 +... + An) = 1. (*)

Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения: Р (А1 + А2 +... + Аn) = Р (A1) + Р (A2) +... + Р (Аn). (**)

Сравнивая (*) и (**), получим Р (А1) + Р (А2) +... + Р (Аn) = 1.

Пример. Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов А, В и С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,7, из города В — 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

Р е ш е н и е. События "пакет получен из города А", "пакет получен из города В", "пакет получен из города С" образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице: 0,7 + 0,2 + p =1.

Отсюда искомая вероятность р = 1 — 0,9 = 0,1.