Формула полной вероятности. Примеры вычисления.
Формула полной вероятности Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) B1, В2,...,Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А: Р(А) = Р (В1) РВ1(А) + Р (В2) РВ2(А) +... + Р (Вn) РВn(А). (*) где Р(В1)+Р(В2)+...+Р(Вn)=1. Равенство (*) называют формулой полной вероятности. Пример. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположе- ния о первоначальном составе шаров (по цвету). Решение. Обозначим через А событие—извлечен белый шар. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров: B1 - белых шаров нет, В2—один белый шар, В3 — два белых шара. Поскольку всего имеется три гипотезы, причем по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице (так как они образуют полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна 1/3, т. е. Р (В1)=Р (В2) = P(3)= 1/3. Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров, PB1(А) = 1/3. Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый шар, PB2(А) = 2/3. Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне было два белых шара PB3(А) = 3/3=1. Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности: Р (В1) РВ1(А) + Р (В2) РВ2(А) + Р (В3) РВ3(А) = 1/3*1/3+1/3*2/3+1/3*1=2/3. Пример. В магазин поступили электрические лампочки одного типа, изготовленные на четырех ламповых заводах: с 1-го завода 250 шт., со 2-го — 525 шт., с 3-го — 275 шт. и с 4-го — 950 шт. Вероятность того, что лампочка прогорит более 1500 часов, для 1-го завода равна 0,15, для 2-го — 0,30, для 3-го — 0,20, для 4-го — 0,10. При раскладке по полкам магазина лампочки были перемешаны. Какова вероятность того, что купленная лампочка прогорит более 1500 часов? Решение: Пусть A — событие, состоящее в том, что лампочка прогорит более 1500 часов, а Н1, Н2, Н3 и Н4 — гипотезы, что она изготовлена соответственно 1, 2, 3 или 4-м заводом. Так как всего лампочек 2000 шт., то вероятности гипотез соответственно равны
Далее, из условия задачи следует, что
Используя формулу полной вероятности (11), имеем
|
