Объем шара и пирамиды

Для нахождения объема шара и пирамиды построим последователь-ности вписанных в них цилиндров и призм, объемы которых известны (из очевидных соображений они равны произведению площади основания на высоту).

Разрежем полушарие радиуса R равноотстоящими параллельными плоскостями на n частей и впишем в него n-1 цилиндр. Радиусы основа-ния цилиндров находятся с помощью теоремы Пифагора, объем ступенча-того тела V_n, приближающийся c ростом n к объему полушария преобразуется к виду

Аналогично строится приближение пирамиды с площадью основания S и высотой h вписанными призмами с высотами h/n. Определив площади их оснований из условия подобия, получим объем ступенчатого тела как n-й член последовательности, сходящейся к объему пирамиды.

Позже будет показано, что предел переменной дроби, входящей в оба приближения, равен 1/3:

Используя этот результат, получим точные формулы для вычисления объемов полушария:

и пирамиды:

Производная функция. Геометрический смысл производной. Таблица производных.

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс — интегрирование.

Производной функцией в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение при Δx, стремящемся к нулю.

Производные элементарных функций

Геометрический смысл производной

Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x0:

Таблица производных основных элементарных функций

1) ; 10) ;

2) ; 11) ;

3) ; 12) ;

4) ; 13) ;

5) ; 14) ;

6) ; 15) ;

7) ; 16) ;

8) ; 17) ;

9) ; 18) ;

19) .