Вычисления площадей плоских фигур

 

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке . Если при этом f(x) на этом отрезке, то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=a, x=b, выразится с помощью интеграла:

a

0

x

y=f(x)

b

y

S

 

 

 

Замечания:

a

0

x

y=f(x)

b

y

S

1. Если же на , то – f(х) на этом отрезке. Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции находится по формуле

или

Наконец, если линия y=f(x) пересекает ось Ох, то отрезок надо разбить на части, в пределах которых f(x) не меняет знака, и к каждой части применить ту из формул, которая ей соответствует.

 

a

0

x

y2=f2(x)

b

y

S

y1=f1(x)

2. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху графиком функции y₂=f₂(x), снизу – графиком функции y₁=f₁(x), слева и справа прямыми x=a, x=b, вычисляется по формуле:

 

 

 

3. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной справа графиком функции x₂=j₂(y), слева – графиком функции x₁=j₁(y), снизу и сверху прямыми y=c, y=d, вычисляется по формуле:

c

0

x

d

y

S

 

 

 

Пример 11. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции y = sin x и осью абсцисс при условии .

Решение: Разобьём отрезок на два отрезка: и . На первом из них sin x , на втором sin x . Тогда, используя формулы, находим искомую площадь:

x

2p

0

y

p

Вычисление объёмов

Если тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y=f(x) (), осью Ох и прямыми x=a, x=b (a<b), то

a

0

x

b

y

y=f(x)

или

c

0

x

d

y

x=g(y)

 

Вокруг Оу:

Пример 12 Найти объем тела, полученного вращением y=tgx вокруг оси Ox, .

 

 

1

x

y

0

y=tg(x)

Решение:

 

21. Дискретные и непрерывные случайные величины. Математическое ожидание СВХ и его вычисления. Примеры с игральными костями и монетами.