Доказательство.

Пусть , ,тогда , , где и – бесконечно малые последовательности.

Произведение , а .

является суммой бесконечно малых последовательностей и сама является бесконечно малой, например, . Тогда и следовательно .

5. Частное двух сходящихся последовательностей и при условии, что предел отличен от нуля, есть последовательность сходящаяся, а её предел равен частному пределов (без доказательства).

На основании перечисленных свойств можно находить пределы числовых последовательностей.

Рассмотрим некоторые примеры.

3. Найти предел . При делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, дробь не меняется. Разделим числитель и знаменатель на n² и получим т.к. , т.к.

Отношение двух сходящихся есть последовательность сходящаяся и поэтому .

4.

1.3. Число «е»

Числом «е» называется предел последовательности с общим членом .

Применив формулу бинома Ньютона, найдем

Учитывая неравенство , для любого , получим и ,

где – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии ,

Получили, что , т.е. предел последовательности – это некоторое число, лежащее на интервале (2;3).

Это число определил Леонард Эйлер (1707 – 1783) – великий математик, член Петербургской Академии наук, большую часть жизни проведший в России, по происхождению швейцарец.

При помощи современных ЭВМ, это число вычислено с точностью до 590 знаков после запятой. Отдавая дань Эйлеру, это число называют числом «е »: е =2,718281…

Число е играет огромную роль в математике.

Рассмотрим примеры.

1.

2. .

3. .

П редел числовой последовательности. Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу a при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.

 

Это определение означает, что a есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к a при возрастании n. Геометрически это значит, что для любого > 0 можно найти такое число N, что начиная с n > N все члены последовательности расположены внутри интервала (a - , a + ). Последовательность, имею щая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.

1.1. Применения пределов

1.2.1. Площадь круга

 

Для вычисления площади круга единичного радиуса опишем вокруг него правильный n-угольник. Его площадь, равная n площадям одинако-вых равнобедренных треугольников с вершинами в т. О, даст приближение площади круга с избытком. Площадь одного треугольника равна произве-дению единичной высоты на половину основания, равную тангенсу угла ; площадь S_n всего n-угольника будет в n раз больше: .

Например, площадь правильного треугольника: ;

площадь описанного квадрата:

площадь описанного шестиугольника:

Монотонно убывающая последовательность S_n сходится к числу - площади круга единичного радиуса.

Последовательность площадей правильных многоугольников, вписанных в окружность, дает приближения площади круга с недостатком. Площадь одного из n равнобедренных треугольников, составляющих вписанный n-угольник, можно вычислить, как половину произведения единичных сторон на синус угла между ними; обозначив через s_n площадь всего n-угольника, получим монотонно возрастающую последовательность приближений, стремящихся к площади круга снизу: