Числовая последовательность и ее придел. Применение понятия придела к вычислению площади круга.

Числовые последовательности

Определение 1.1.1. Если каждому n из множества натурального ряда чисел поставлено в соответствие по определённому закону некоторое вещественное число x _n, то множество чисел x ₁, x ₂, x ₃,…., x _n,…. называется числовой последовательностью и обозначается { x _n}, при этом x _n называется общим членом числовой последовательности. Числа x _n называются элементами или членами числовой последовательности.

Например, последовательность с общим членом x _n= , будет последовательностью чисел 1, , ,…..,= .

Последовательность с общим членом x _n=1+(-1)ⁿ будет последовательностью чисел

Арифметическая и геометрическая прогрессия также являются числовыми последовательностями.

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность с общим членом x _n= x ₁+ (n-1), где d – разность арифметической прогрессии

Например, 1, 5, 9, …, 4n-3, …; x _n=1+4(n-1)=4n-3, d =4

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность с общим членом
x _n= x_i q^n-1 ,где q – знаменатель геометрической прогрессии

Например: 3, .

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Числовые последовательности бывают бесконечно большими и бесконечно малыми.

Определение 1.1.2. Последовательность { x_n } называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А, сколь угодно большого, можно указать номер N такой, что при n N все элементы последовательности x_n удовлетворяют неравенству

Например, последовательность натурального ряда чисел 1, 2, …, n, … является бесконечно большой, т.к, какое ни возьми число N, начиная с которого, для n N, члены последовательности будут всё-таки больше А.

Последовательность 1, 2, 1, 3, 1, 4, …, 1, n, … не является бесконечно большой, так как для всех нечетных членов этой последовательности неравенство не будет выполняться.

Определение 1.1.3. Последовательность { _n } называется бесконечно малой, если для любого положительного числа , сколь угодно малого, можно указать номер N такой, что при n N все элементы .

Например, геометрическая прогрессия, у которой знаменатель , является бесконечно малой числовой последовательностью.

Рассмотрим геометрическую прогрессию с общим членом 1,

Изобразим точками на числовой оси элементы этой последовательности (см.рис.1.1.)

Рис.1.1. Числовая последовательность с общим членом

Выберем сколь угодно малое число , например, =0,1. Начиная с номера N =5, для всех членов последовательности справедливо неравенство x_n < 0,1. Если выбрать =0,01, то, начиная с номера N =8, для всех членов последовательности справедливо x_n<0,01.

Если в неравенстве < раскрыть модульные скобки, то (- < < ) показывает, что начиная с номера N, зависящего от , все члены последовательности попадают на интервал (- ; ). Для рассмотренного примера, при =0,1, начиная с N =5 члены последовательности попадают на интервал(-0,1;0,1); при =0,01 на интервал(-0,01;0,01). Чем меньше , тем больше номер N. Все члены последовательности приближаются к нулю, но ни при одном n, не обращаются в нуль.

Рассмотрим пример последовательности с общим членом x_n=(-1) ,

1,

Изобразим точками на числовой оси элементы этой последовательности (см. рис.1.2)

Рис.1.2. Числовая последовательность с общим членом x_n=(-1)

Видно, что члены последовательности приближаются к нулю, при этом ни один элемент последовательности не равен нулю. Для любого, сколь угодно малого, >0, можно указать номер N, начиная с которого для всех n N, справедливо неравенство < .

=0,1, номер N =11 =0,01, номер N =101 и т.д.

Значит, последовательность также является бесконечно малой.

Основные свойства бесконечно малых последовательностей

1. Сумма бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая. .

2. Разность двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая .

3. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая .

4. Если { x_n} – бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого номера n, определена последовательность , которая является бесконечно малой. .

5. Если все члены бесконечно малой последовательности не равно нулю, то последовательность бесконечно большая. .

Сходящиеся последовательности. Свойства сходящихся последовательностей

Определение 1.2.1. Последовательность { x_n } называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности { x_n } и обозначается , или при .

Определение 1.2.2. Последовательность { x_n} называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого сколь угодно малого положительного , найдется номер N, такой, что при все элементы последовательности x_n удовлетворяют неравенству

Очевидно, что оба определения дополняют друг друга. Действительно, из «Определения 1.2.1» утверждение - бесконечно малая, следует, что для любого >0 и , что и сказано в «Определении 1.2.2»

Неравенство эквивалентно неравенству

Будем говорить, что x_n попадает в - окрестности точки а.

Так как , то общий член , или . Будем говорить, что любой элемент сходящейся последовательности может быть записан в виде , где - элемент бесконечно малой последовательности.

Рассмотрим примеры сходящихся последовательностей.

1. Последовательность сходится.

Составим последовательность

Докажем, что последовательность бесконечно малая. Если , то , и поэтому по данному >0 достаточно выразить номер N из условия или .

2. Последовательность сходится к числу а =2.

Действительно, , тогда последовательность бесконечно малая.

Свойства сходящихся последовательностей

1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел (без доказательства).

2. Сумма сходящихся последовательностей и есть последовательность сходящаяся, а её предел равен сумме пределов.

Доказательство.

Пусть , тогда , – бесконечно малая последовательность, , тогда , – бесконечно малая последовательность.

Сумма . Общий член последовательности может быть записан , т.к. есть сумма двух бесконечно малых последовательностей и является бесконечно малой последовательностью, то , где , то .

3. Разность сходящихся последовательностей и есть последовательность сходящаяся, а её предел равен разности пределов. Доказательство аналогично доказательству свойства 2.

4. Произведение сходящихся последовательностей есть последовательность сходящаяся, а её предел равен произведению пределов.