Свойства производных. Примеры.

Свойства производных функций

1. Производная суммы функций

равна сумме их производных, если они существуют, т. е.

(u+v)’=u’+v’

2. Производная произведения двух функций

вычисляется по формуле (uv)’ = u’v + uv’

в предположении, что производные u’ и v’ существуют.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (kf(x))’ = kf’(x).

4. Производная частного вычисляется по формуле

5. Производная сложной функции

равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной:y=f(u(x)) y’=f’(u).u’(x)

6. Диференциал функции

Произведение производной на произвольное приращение аргумента

является главной частью приращения функции.

Это произведение называется диференциалом и обозначается df(x)=dy=f’(x)dx.

Часто приращение функции заменяют ее диференциалом при приближенных вычислениях.

Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Примеры.

Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:F(x) + C.

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства: 1. 2. 3. 4. где u, v, w – некоторые функции от х.

1.

Пример:

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.

Таблица основных интегралов.

Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

Интеграл	Значение	Интеграл	Значение
		-ln½cosx½+C			ex + C
		ln½sinx½+ C			sinx + C
					-cosx + C
					tgx + C
					-ctgx + C
		ln			arcsin + C

. Непосредственное интегрирование.

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Рассмотрим применение этого метода на примере: Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования можно сделать вывод, что искомый интеграл равен , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных. Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало.