Правила приближенных вычислений

Числовые значения физических величин, с которыми приходится иметь дело при решении задач, в большинстве случаев являются приближенными, причем степень приближения зависит как от точности приборов, которыми измерялась данная физическая величина, так и от тех требований, которые выдвигаются условиями задачи.

Так, например, ускорение силы тяжести обычно принимается равным 9,81 м/с². Однако более точные измерения этой величины могут дать значение 9,80665 м/с². При решении же некоторых задач в целях упрощения расчетов можно принять значение этой величины равным 10 м/с².

Необходимо помнить, что точность конечного результата
вычислений зависит только от точности измерений и ее невозможно повысить за счет точности вычислений, высчитывая много десятичных знаков после запятой. Рассмотрим это на примере следующей задачи.

За сколько времени падающее тело достигнет скорости 50 м/с?

В соответствии с законами свободного падения , a . Производя деление, можно получить, например, число 5,09684... секунд. Можно производить деление и дальше, но смысла это иметь не будет, так как вполне достаточно остановиться на числе 5,09, имеющем столько же значащих цифр, сколько их имеет исходное данное – 9,81. Излишнее количество знаков при вычислениях не только не приносит пользы, но является грубой ошибкой, так как говорит о том, что вычислитель не имеет представления о точности своих измерений и вычислений и бесполезно затрачивает свой труд и время.

Чтобы избежать вычисления ненужных знаков, необходимо соблюдать правила действия над приближенными числами:

1. Следует правильно записывать приближенные числа. Так, например, числа 5,6; 5,60; 5,600 – отнюдь не одно и то же число. В первой записи указано, что верны лишь цифры целых и десятых долей. Во втором числе верны сотые доли, а в третьем – также и тысячные, и, следовательно, измерения, в которых получено это число, оказались наиболее точными из всех трех измерений.

2. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате надо отбрасывать по правилам округления цифры тех разрядов справа, которых нет хотя бы в одном из слагаемых. Так, например:

Десятые доли отброшены, так как десятичные знаки первого слагаемого неизвестны.

3. При умножении и делении приближенных чисел в результате необходимо оставлять столько значащих цифр, сколько их имеется в числе с наименьшим количеством значащих цифр. Прочие цифры заменяются нулями или отбрасываются по правилам округления. Например:

4. При возведении в степень или извлечении корня в результате надо оставлять столько значащих цифр, сколько их в исходном числе, с которым производится действие. Например:

5. При вычислении сложных выражений следует применять указанные правила в соответствии с видом производи­мых действий. Например,

Числа 5,3 и 2,7 имеют наименьшее количество значащих цифр, а именно две. Поэтому результаты всех промежуточных вычислений должны округляться до трех знаков, оставляя, кроме двух достоверных, один сомнительный знак. Тогда предыдущее выражение можно будет записать так:

Произведя эти вычисления, округляем ответ до двух значащих цифр, т. е. до 4,7.

6. Табличные величины (число π, , заряд электрона и т. п.) следует брать с таким количеством значащих цифр, которое равно количеству значащих цифр в наименее точном из данных по условиям задачи.

7. В ряде случаев результаты измерений или табличные данные выражаются числами, близкими к единице, но заведомо не равными единице. При точных вычислениях такие числа округлять нельзя. Так, например, магнитная проницаемость платины равна 1,000360, показатель преломления воздуха равен 1,00029 и т. п. Вычисления с ними довольно громоздки. Поэтому при работе с такими числами следует пользоваться специальными правилами.

Пусть число может быть выражено в виде , где х – малое число. Тогда

.

,

Рассмотрим применение этих правил на примерах:

 

 

.

Этими правилами следует широко пользоваться в приближенных вычислениях и при решении задач.

Большую помощь при проведении вычислений оказывают микрокалькуляторы. Они полезны не только при решении задач по физике, но и в практической деятельности ветеринарного врача, а также в быту. Следует, однако, отметить, что микрокалькуляторы дают результаты с пятью, семью и с большим количеством знаков. Поэтому числа, даваемые микрокалькулятором, необходимо округлять в соответствии с вышеприведенными правилами.

При вычислениях в ряде случаев удобно пользоваться таблицами 3 и 4, помещенными в конце указаний.