Теоретический материал к заданию № 2.

Векторы, прямые произведения, произведения векторов.

 

Вектор , где - компоненты (координаты) вектора. Число компонент называется длиной (размерностью) вектора.

Два вектора и равны, если они имеют одинаковую длину и соответствующие координаты их равны, т.е. , если: 1). ; 2). .

Множество всех возможных (различающихся) векторов длины таких, что , называют прямым произведением множеств Обозначение прямого произведения: . Прямое произведение одинаковых множеств , т.е. когда , обозначают .

Мощность прямого произведения множеств равна произведению мощностей этих множеств, т.е. .

Способы задания прямого произведения множеств - аналогичны способам задания множеств с той разницей, что требуется задание каждого множества

Операции над множествами векторов (данного прямого произведения) – объединение, пересечение, разность, дополнение – аналогичны соответствующим операциям над множествами элементов.

Операции над вектором длины : .

Проекцией вектора на ю ось называется его я компонента: .

Проекцией вектора на оси с номерами называется вектор длины :

Операции над множеством векторов длины :

.

Проекцией множества векторов на ю ось называется множество проекций всех векторов из на ю ось:

.

Проекцией множества векторов на оси с номерами называется множество проекций всех векторов на оси с номерами :

.

Операции над упорядоченным множеством векторов длины : .

Проекцией упорядоченного множества векторов на ю ось называется упорядоченное множество проекций векторов на эту ось: .

Проекцией упорядоченного множества векторов на оси с номерами называется упорядоченное множество проекций всех векторов на оси с номерами :

Над векторами одинаковой длины возможно выполнение различных операций сравнения.

Правило сравнения векторов по предпочтению. Пусть - множество векторов длины , компонентами которых являются числа. Вектор не менее предпочтителен, чем вектор (обозначение ), если компоненты вектора не меньше соотвествующих компонент вектора

.

 

Примеры решений задания № 2.

1). Пусть . Определить проекции :

1. на первую ось;

2. на вторую ось;

3. на вторую и третью ось.

Решение.

Проекции множества векторов :

.

 

2). Пусть упорядоченное множество векторов. Определить проекции :

1. на первую ось;

2. на вторую ось;

3. на вторую и третью ось.

Решение.

Проекции упорядоченного множества векторов : .

 

3). Пусть Найти .

Решение.