Теорема как вид суждения. Виды теорем

В мышлении понятия определенным способом связываются между собой. Видом связи понятий друг с другом является суждение. Как и понятие, суждение является одной из форм мышления. Суждение — это предложение, существенным признаком которого является наличие истинности или ложности в выражающем его предложении [75]. В логике суждение определяется как «форма мышления, представляющая собой сочетание понятий, из которых одно (субъект) определяется и раскрывается через другое (предикат)» [90, с. 777]. Суждение можно изобразить символически в виде формулы: S есть P (S не есть P), где S и P – переменные [113].

Каждая наука, по существу, представляет собой определенную систему суждений об объектах, являющихся предметом ее изучения. Каждое из суждений оформляется в виде некоторого предложения, выраженного в терминах и символах, присущих этой науке. Математика также представляет собой определенную систему суждений, выраженных в математических предложениях посредством математических или логических терминов или соответствующих им символов. Математические термины (или символы) обозначают логические операции, с помощью которых из одних математических предложений строятся другие суждения, вся совокупность которых и составляет математику как науку. Основными видами математических суждений являются теоремы и аксиомы (постулаты). Они и составляют предмет следующего вида математической деятельности — деятельности изучения утверждений. Перечислим категории, составляющие предмет этого вида математической деятельности, в том числе учащихся. И снова, как при анализе понятия, приходится уточнять представления о предмете деятельности. Иначе как деятельностный подход может быть реализован? С понятием «аксиома» просто — однозначность в понимании снимает все вопросы. Понятия «теорема», «структура теоремы», «доказательство», виды теорем требуют уточнения в целях данного исследования и не только.

Аксиома – предложение, принимаемое без доказательства (его истинность допускается). Определенное число аксиом образует систему отправных, исходных положений некоторой научной теории, лежащую в основе доказательства других положений (теорем) этой теории, в границах которой каждая из аксиом принимается без доказательства. Аксиомы и первичные (неопределяемые) понятия составляют основной фундамент математической теории. К системе аксиом, характеризующих некоторую научную теорию, предъявляются, как известно, требования независимости, непротиворечивости, полноты. Постулат – это предложение, где выражается какое-либо требование (условие), которому должно удовлетворять некоторое понятие или отношение между понятиями. Нередко постулаты являются частью определения некоторого понятия или системы понятий.

При изучении свойств различных математических объектов приходится делать те или иные заключения, то есть на основе понятий того или иного раздела математики строить предложения, истинность которых необходимо обосновать. Математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства (рассуждения), называется теоремой. При этом о предложении «Если углы равны, то они вертикальные» говорят, что теорема неверна [11, 75 и др.]. Но в методико-математической литературе есть и другая точка зрения на понятие теоремы, в соответствии с которой приведенное выше предложение не является теоремой [113, 125 и др.]. Теорема — математическое утверждение, истинность которого установлена путем доказательства.[9] Большинство авторов школьных учебников придерживаются второй точки зрения на содержание понятия теоремы, хотя в формулировках, претендующих на определение, использованы глаголы «устанавливается», «доказывается» [79, с. 30; 101, с. 17 и др.]. Анализ литературы показал, что более целесообразно определение теоремы как утверждения, истинность которого доказана в данной теории.

Определимся с понятием «доказательство». В учебной литературе для семиклассников доказательство описывается как «строгое обоснование» [79, с. 30]; как рассуждение, в котором устанавливается «правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры» [101, с. 15]. Разъяснение сущности доказательства не проводится, лишь дан пример доказательства теоремы, т.е. налицо формирование эмпирического мышления, в то время как деятельностный подход в обучении ориентирован на развитие теоретического мышления [30]. В разъяснении учащимся сущности доказательства утверждения требуется раскрыть, что значит «строгое обоснование». Ясно, что не любое рассуждение является доказательством, даже с интуитивной, а не только с логической точки зрения.

Обращение к логике позволяет выделить действие, в результате которого из одного или нескольких суждений получается новое суждение, называемое умозаключением. Исходные суждения называют посылками, а новое – выводом или заключением. Если вывод делается из двух суждений, то умозаключение называют силлогизмом. Как известно, при доказательстве теорем в школьном курсе математики используется силлогизм, имеющий следующее строение: Все М суть Р (большая посылка); S суть М (малая посылка). S суть Р (вывод) [113].

Таким образом, для понимания доказательства у учащихся должно быть сформировано понятие об умозаключении. Для этого могут быть использованы задачи, точнее, решение задачи. Пример решения задачи, в котором представлены умозаключения, дано «строгое обоснование», приведен выше (см. с. 44). Формирование представления о решении задачи как последовательности умозаключений, позволяющей из условия (совокупности условий–суждений) вывести требуемое (суждение–заключение) на основе теоретических фактов, является пропедевтикой формирования понятия «доказательство теоремы». Достаточно сравнить решения указанной выше задачи (с. 44) с рассуждением – доказательством теоремы о медиане равнобедренного треугольника (см. с. 14), чтобы принять идею раннего формирования представления об умозаключении. Опыт изучения степени с натуральным показателем в пятом классе [124] убедительно показал состоятельность идеи формирования сущности доказательства в пропедевтическом курсе математики. Итак, доказательство есть рассуждение, являющееся последовательностью (цепочкой) умозаключений, выведением из условий заключения (требования) на основе фактов теории.

Библиографический список каждого учебного пособия по методике преподавания математики содержит статью выдающегося отечественного математика и педагога В.Г. Болтянского «Как устроена теорема» [11]. Но при этом описание видов теорем ограничивается рассмотрением предложений импликативной структуры, как простых (прямая, обратная к ней, противоположная и обратная противоположной), так и сложных (теоремы, выражающие необходимое и достаточное условие; теоремы, в условии или в заключении которых конъюнкция или дизъюнкция, и т.п.) [4, 6, 9 и др.]. Вопрос о классификации теорем в явном виде не ставится, хотя на основе материала указанной статьи В.Г. Болтянского это можно сделать. И такая попытка, на наш взгляд, предпринята при составлении словника по методике преподавания математики [132].

Рассмотрим примеры теорем. Первая — свойство углов при основании равнобедренного треугольника; вторая — теорема о существовании точки, равноудаленной от вершин треугольника (существование окружности, описанной около треугольника). Теоремы (3) — (6): свойство умножения степеней с натуральными показателями; теорема о длине окружности; тождество (формула) «квадрат суммы двух выражений», свойство арифметического квадратного корня.

; (1)

; (2)

; (3)

; (4)

; (5)

· (6)

Очевидно, что первая теорема представляет собой общеутвердительное суждение, имеющее условную форму словесного выражения. Структура этой теоремы в обобщенном виде , что означает: «Для всех x, если x присуще свойство S, то x присуще свойство P» [113, с. 68]. Теорему такой структуры называют импликативной. Структурные формулы других теорем: — для теорем (3), (5), (6); — для теорем вида (2), (4), где A – некоторый предикат. Например, теорема о существовании центра описанной окружности вокруг треугольника (2). Здесь x – треугольник, y – центр описанной окружности, предикат А – установление взаимосвязи треугольника с центром описанной вокруг него окружности. Утверждения (2) – (6) не содержат импликации, назовем их неимпликативными теоремами. Хотя структурная формула теорем (2) и (4) одна и та же, традиционно в математике выделяются теоремы существования и теоремы – формулы [132]. Представим классификацию теорем схемой (рис. 17). Неимпликативная теорема категорической формы может быть сформулирована в условной форме, стать импликативной.

Рис. 17

Простую импликативную теорему А В (*) называют прямой, тогда суждение называют теоремой, обратной теореме (*) (или, короче, обратной теоремой). Заменив в теореме (*) условие и заключение их отрицаниями, получим суждение , которое называют противоположным теореме (*). Теорему называют обратной противоположной. Тот факт, что теоремы А В и равносильны друг другу (если истинна одна, то истинна и другая), является основой одного из приемов косвенного метода доказательства — «метода от противного».

Если из A следует B (А В), то B называют необходимым условием для A, то есть необходимое условие для A – это его следствие. Если из A следует B, то A называется достаточным условием для B. Достаточное условие не всегда является необходимым и наоборот. Примером является условие «два угла являются вертикальными» и «два угла равны». Однако встречаются условия, которые одновременно являются и достаточными, и необходимыми. В контексте видов теорем это означает одновременную истинность данного утверждения и обратного к нему. Например, [11, с. 44]. Важными частными случаями теорем являются: 1) следствие – теорема, легко доказываемая с помощью одной теоремы или определения; 2) лемма – теорема, представляющая интерес только как ступень к доказательству другой теоремы; 3) необходимое и достаточное условие – теорема, объединяющая в одной формулировке с использованием слов «необходимо и достаточно»[10] прямую и обратную теоремы; 4) теорема существования – теорема, в которой «отсутствуют условие и заключение» [Там же, с.49], но утверждается существование какого-либо объекта, обладающего определенными свойствами; 5) теорема-тождество и теорема-формула – теоремы, выраженные языком математических символов [132], например, свойства логарифмов.

1°. ( a) (а > 0, a ≠ 1) (log 1 = 0).

2°. ( a) (а > 0, a ≠ 1) (log а = 1).

3°. ( a) (а > 0, a ≠ 1) (log а = r).

Свойства 1° – 3° — следствия определения логарифма, их истинность устанавливается по определению или свойству степени: а = 1; а = а; а = а .

4°. При любом положительном основании а (а ≠ 1) логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:

( a, b, c) (а > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (log (bc)= log b + log c).

5°. При любом положительном основании а (а ≠ 1) логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя:

( a, b, c) (а > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) .

6°. Если a, b – положительные числа, причем a ≠ 1, то для любого числа r справедливо тождество:

( a, b, r) (а > 0, a ≠ 1, b > 0) .

Заметим, что свойства 5 ° и 6 ° — следствия свойства 4°.

Обобщением свойств4°,5 °, 6 ° являютсяследующие формулы:

log x = = 2 n log | x | (n – целое число).

log bc = log | b | + log | c |. Аналогично: log = log | b | – log | c |.

Таким образом, принципы предметности деятельности и единства деятельности (внутренней и внешней) послужили основой проведенного анализа терминологии, связанной с понятием, его содержанием и объемом, и теоремой и ее видами.

Содержанием понятия является совокупность всех существенных признаков понятия. Определить понятие — значит выбрать его существенные свойства так, чтобы все вместе они были достаточны для отличия объектов изучаемого понятия от других. Определение понятия(математического объекта) — предложение (речевое или символическое), в котором перечислены существенные признаки, все вместе достаточные для отличия объектов изучаемого понятия от других. В определении должно раскрываться основное содержание понятия. В структуре определении понятия выделяют определяемое понятие, обозначенное новым термином, и определяющее понятие — достаточную совокупность существенных признаков.

На основе изучения теорем как предмета познавательной деятельности учащихся при обучении математике установлено, что теоремы курса алгебры седьмого класса — теоремы-тождества. Отсюда следует специфика формирования действий учащихся при изучении алгебраических теорем.