Понятие «уравнение» с логической точки зрения

Как известно, уравнение – центральное понятие математики. В методике преподавания математики одной из четырех основных алгебраических линий школьного курса алгебры выделена линия уравнений и неравенств [88, 107]. Уравнение как простейшая математическая модель широко используется в решении задач. Поэтому проверка знаний по многим темам школьного курса математики (например, задания части С итоговой аттестации) сводится к решению уравнений. Однако приходится констатировать, что, несмотря на большое внимание, уделяемое изучению теории уравнений в школе, результаты овладения этими знаниями крайне низкие. Причины затруднений учащихся самые разные. Это предмет отдельного исследования. Проблема реализации деятельностного подхода к обучению математике должна решить в обозримом будущем и эту частную задачу. В целях данного исследования выполним в основном анализ введения понятия уравнения с точки зрения реализации деятельностного подхода к обучению.

В школьном курсе математики уравнения служат для задания функции, геометрической фигуры (прямой, окружности и т.п.). Однако понятие уравнения не определяется, а вводится поясняющим описанием и в пятом, и в седьмом классах как равенство с переменной (неизвестным) [3, 37, 71 и др.].

В методике преподавания математики обозначились несколько подходов к введению понятия уравнения в начале курса алгебры средней школы. Первый, более ранний, относится к 60-м годам прошлого столетия [30]. Систематическое изучение уравнений осуществлялось при изучении уравнений с одним неизвестным. Введение понятия рекомендовалось начинать с вопроса о равенствах, обратив внимание учеников на то, что им приходилось много раз встречаться с такими формулами, в которых два алгебраических выражения соединены знаком равенства. «Два алгебраических выражения, соединенные знаком равенства, принято называть равенством» [30, с. 378]. Далее детально изучались численные (арифметические) равенства. «Равенства, в которых содержатся только известные числа, называются численными или арифметическими. Для проверки арифметического равенства проводят вычисления левой и правой частей равенства» [66, с.378]. Учащимся предлагались примеры, в которых требовалось сделать достаточно сложные вычисления.

После усвоения понятия арифметических (в современных учебниках — числовых) равенств рекомендовалось «показать ученикам, что совсем иначе обстоит дело с равенством, содержащим буквенные выражения» [Там же]. На примерах таких равенств ученики подводятся к осознанию того, что эти равенства могут оказаться верными при одних значениях букв и неверными при других значениях букв, входящих в равенство. Кроме того, рассматриваются примеры равенств с одной буквой, верных при единственном ее значении и неверном при всех других значениях. Наконец, рассматриваются равенства, которые становятся бессмысленными при некоторых значениях букв, входящих в них:

ах + 8 = 17 теряет смысл при а равном 0, так как сумма 0· х + 8 не равна 17 ни при каком х. Далее изучается понятие тождества и его частный вид — арифметические равенства. И только после всего вышеперечисленного возможно введение понятия об уравнении как равенстве.

Другой подход основан на понятиях логики и теории множеств. И неслучайно. Обратимся к определению уравнения в математике. «Пусть на множестве М зафиксирован набор алгебраических операций, х – переменная на М; тогда уравнением на множестве М относительно х называется предикат вида a (x) = b (x), где a (x) и b (x) – термы относительно заданных операций, в запись которых входит символ x»[19, с. 107]. Определив уравнение как предикат, необходимо выяснить, каким правилам подчиняются операции над уравнениями. Как известно, это операции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквивалентности и др. «Для решения уравнений особенно важно понимать смысл полученного после очередного преобразования уравнения, т.е. будет ли новое уравнение с тем же множеством решений или множество решений изменилось. С этой целью вводится понятие равносильных уравнений» [67, с. 175].

Принятым в логике терминам «терм» и «предикат» соответствуют термины школьной математики «выражение» и «предложение с переменной». Наиболее близка к приведённому формальному определению уравнения следующая формулировка: «Предложение с переменной, имеющее вид равенства между двумя выражениями с этой переменной, называется уравнением» [77, с. 107].

Понятие «выражение» можно определить в школе как конечную совокупность символов алфавита математического языка, имеющую смысл. Для арифметико-алгебраических выражений это означает, что оно должно иметь числовое значение. Дихотомическая классификация понятия «выражение» (см. с. 37) приводит к выделению подмножества «уравнения». Описание объектов этого множества — суть определения уравнения. «Выражение с переменной, содержащее знак отношения, принято называть … логической функцией или уравнением (неравенством)» [67, с. 174]. Или другая формулировка определения, используемая некоторыми учителями: «Выражение с переменной, содержащее знак «=», называется уравнением» [16, с. 198].

Как следует из проведенного анализа, чтобы определить понятие «уравнение» подобным образом, должен быть введен алфавит школьного математического языка для введения понятия «выражение». В методике обучения математике исследования в этом направлении давно проведены: для введения понятия «выражение», а затем и «уравнение». Рассматривается алфавит школьного математического языка, представляющий собой конечное множество символов (цифры, буквы латинского и русского алфавита, знаки действий и отношений и др.):

Причем отмечается, что язык школьного предмета математики должен удовлетворять синтаксическим и семантическим требованиям [67].

Современные программы обучения математике в начальной школе и пропедевтическом курсе математики располагают такой базой [37, 146 и др.]. Опыт преподавания по современным учебникам развивающего обучения «Школа 2000…» [37, 38], по комплекту учебников алгебры А.Г. Мордковича [79], реализующих деятельностный подход в обучении, показывает возможность введения алфавита математического языка и, следовательно, определения понятия выражения и уравнения (неравенства).

В современных учебниках для средней школы не выдержан ни один из описанных выше подходов. В учебниках и для пятого, и для седьмого классов характерно введение понятия уравнения как равенства с переменной (неизвестной). Во-первых, отметим, что термин «уравнение» ученики узнают в начальной школе, как, впрочем, и многие другие математические термины, обозначающие понятия. Некоторые из них определяются в пропедевтическом курсе математики [37, 38], другие — в систематических курсах алгебры и геометрии.

В наиболее популярном учебнике для пятого класса уравнение вводится как теоретическое сведение, которое «надо знать наизусть» [71, с. 6]. Как известно, наизусть следует знать определения понятий, формулировки правил (алгоритмов), аксиом и теорем. Таким образом, предложению: «Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти» [71, с. 83] негласно присвоен статус[8] определения понятия. Ниже, как следствия этого предложения, можно рассматривать выделенные формулировки того же статуса: «Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения» и «Решить уравнение — значит найти все его корни (или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня)».

С точки зрения деятельностного подхода к обучению введению понятия должна предшествовать мотивация, осуществляемая отделением знания от незнания. Мотив как опредмеченная потребность возникает в проблемной ситуации [74], являющейся источником действия, побуждением к нему. Мотивацией к познанию того, какой математический объект является уравнением, нельзя признать задачу с фабулой о чашечных весах. На левой чаше весов, находящихся в равновесии, лежит арбуз и гиря в 1 кг, а на правой чаше — гиря в 5 кг, и найти следует массу арбуза. Эта задача, приводящая к равенству х + 1 = 5, служит мотивировкой, иллюстрацией примера практической ситуации, моделью которой является уравнение, но не создает мотива к введению понятия (сегодня уравнения ученики решают с начальной школы). Это с одной стороны.

С позиции анализа структуры предложения (определения) родовое понятие и видовые отличия вводимого понятия должны быть сформированы, усвоены учащимися ранее. В анализируемых учебниках описательно вводятся понятия числового выражения, буквенного выражения, выражения с переменной, значение выражения как числового, так и буквенного (с переменной) [3, 71 и др.]. Понятие «равенство с переменной или «равенство, содержащее букву (переменную)», самостоятельно не выделяется, не отрабатывается, что говорит о формировании его на интуитивном уровне, ведущем к эмпирическому типу мышления (по Давыдову В.В. [31], [33] и др.). В частности, это явно следует из приведенного в учебнике решения задачи, описанной выше: «Так как весы находятся в равновесии, должно выполняться равенство …» [71, с. 82]. Аналогично изложение вопроса о понятии уравнения и его решении (равносильность уравнений, свойства равносильных уравнений) в систематическом курсе алгебры [3, 79 и других].

На основе выполненного анализа цитируемых выше источников можно утверждать о формировании эмпирического типа мышления учащихся при изучении теории уравнений в 5-х —7-х классах современной школы. Реализация деятельностного подхода к обучению ориентирует на развитие математического мышления учащихся теоретического типа [33]. Поэтому вопрос определения уравнения в школьном курсе математики и изучение теории решения уравнений с позиции деятельностного подхода к обучению пока остается открытым.